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O carro B faz uma curva de tal maneira que sua velocidade escalar é aumentada na razão de a t B = 0,5 e t   m / s 2 , onde t é dado em segundos. Se um carro parte do repouso quando θ = 0 ° , determine as intensidades da sua velocidade e aceleração quando o braço AB gira θ = 30 ° . Despreze a dimensão do carro.

Passo 1

Para podermos calcular a velocidade e as componentes da aceleração precisamos determinar o tempo necessário para o carro chegar ao ponto B, pois todas as equações da cinemática estão em função do tempo, neste caso. Para isto, precisamos utilizar as equações na sua forma integral para obter a função da posição. Depois, descobriremos o tempo t necessário para chegar ao ponto B.

Só nos fica um questionamento. Qual é o comprimento para chegar ao ponto B??? Basta lembrar que a curva percorrida é um arco de circunferência! Portanto, basta fazer a seguinte conta:

s B = ρ ⋅ θ

Simples, né?!? Agora, depois de obter o t , basta fazer o caminho inverso!

Passo 2

Vamos obter as funções da velocidade e da posição. Para isto, vamos começar integrando a função da aceleração tangencial.

∫ 0 v d v = ∫ 0 t a t d t

v = ∫ 0 t 0,5   e t d t

v = 0,5 e t - 1

Já para a posição, temos:

∫ 0 s d s = ∫ 0 t v   d t

∫ 0 s d s = ∫ 0 t 0,5 e t - 1   d t

s = 0,5 e t - t - 1

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o quando o carro percorreu após uma rotação de 30 ° . Calculando o comprimento deste arco temos:

s B = 5 ⋅ π 6 = 2,618   m

Portanto, temos que descobrir o tempo t para que s = 2,618   m . Esta é uma equação que não conseguimos uma solução exata. Podemos utilizar quaisquer artifícios para a solução: soluções numéricas, softwares, análise do gráfico, etc. Resolvendo-o, descobrimos que o valor de t é aproximadamente 2,1   s .

Agora que descobrimos o tempo, podemos calcular os parâmetros da questão!

Passo 4

Vamos determinar inicialmente a velocidade do carro. Substituindo o valor t = 2,1   s na sua equação, obtemos:

v = 3,58   m / s

Já os termos da aceleração são dados por:

a t = 4,08   m / s 2

a n = v 2 ρ = 3,58 2 5 = 2,56   m / s 2

Portanto, a magnitude da aceleração é:

a = 2,56 2 + 4,08 2

a = 4,82   m / s 2

Resposta

v = 3,58   m / s

a = 4,82   m / s 2

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