Enunciado

Calcule as coordenadas x , y e z do centro de massa do acessório formado a partir de uma placa de alumínio de espessura uniforme.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas X - , Y - e Z - do centro de massa do objeto mostrado, formado por uma placa de alumínio uniforme.

Então bora resolver! Para determinar o centro de massa do corpo formado pelo conjunto de outros objetos, vamos utilizar as medidas dadas e as seguintes equações:

X - = ∑ ( m x - ) ∑ m = ∑ ( ρ A x - ) ∑ ρ A = ∑ ( A x - ) ∑ A

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m = ∑ ( ρ A y - ) ∑ ρ A = ∑ ( A y - ) ∑ A

Z - = ∑ ( m z - ) ∑ m = ∑ ( ρ A z - ) ∑ ρ A = ∑ ( A z - ) ∑ A

Ou seja, precisamos definir as áreas das três chapas que compõem a figura: a primeira é a chapa retangular A 1 localizada no plano x - z , a segunda é a chapa triangular A 2 localizada no plano x - y e a terceira chapa é o quarto de cilindro A 3 de raio igual a 150   m m . Logo:

A 1 = 80 * 150 = 12000

A 2 = 1 2 150 * 240 = 18000

A 3 = 1 4 2 π r * h = 1 4 2 π 150 * 240 = 56549

Passo 2

Tranquilo né? Além das áreas, precisamos das posições dos centroides dos dois objetos em relação aos eixos x , y e z , que podemos obter com ajuda da Tabela D/4 de propriedades de figuras sólidas homogêneas. Sendo assim, para a chapa A 1 :

x - 1 = 150 2 = 75

y - 1 = 0

z - 1 = - 80 2 = - 40

Já para a chapa A 2 :

x - 2 = 150 3 = 50

y - 2 = 240 3 = 80

z - 2 = 0

E, finalmente, para a chapa A 3 :

x - 3 = 150 - 2 r π = 150 - 300 π = 54,51

y - 3 = 240 2 = 120

z - 3 = 2 r π = 300 π = 95,49

Passo 3

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades dos objetos separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

X - = ∑ ( A x - ) ∑ A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 A 1 + A 2 + A 3

X - = 12000 * 75 + 18000 * 50 + 56549 * 54,51 12000 + 18000 + 56549

X - = 56,4   m m

Y - = ∑ ( A y - ) ∑ A = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 A 1 + A 2 + A 3

Y - = 12000 * 0 + 18000 * 80 + 56549 * 120 12000 + 18000 + 56549

Y - = 95,0   m m

Z - = ∑ ( A z - ) ∑ A = A 1 z - 1 + A 2 z - 2 + A 3 z - 3 A 1 + A 2 + A 3

Z - = 12000 * ( - 40 ) + 18000 * 0 + 56549 * 95,49 12000 + 18000 + 56549

Z - = 56,8   m m

É isso, galera. Até que foi tranquilo né?

Partiu pra próxima!

Resposta

X - = 56,4   m m

Y - = 95,0   m m

Z - = 56,8   m m

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