Enunciado

Calcule as forças nos elementos B C , C D e C G da treliça carregada, formada por triângulos equiláteros, com lados de 8 m de comprimento.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método das seções, partindo a treliça em duas e considerando uma parte dela como se fosse um corpo rígido, e então resolvendo as equações de equilíbrio para esse corpo. Temos interesse nas barras B C , C D e C G , então o corte que devemos fazer tem que cortar alguns desses elementos, preferencialmente. Faremos um corte passando por C D , C G e G H , e consideraremos o lado direito, como mostra a figura:

Para resolver as equações de equilíbrio nesse corpo, precisamos primeiro encontrar a força D y .

Passo 2

Para encontrar D y , igualamos a zero o momento em torno do ponto J da treliça como um todo. Usamos esse ponto pra não termos na equação as forças desconhecidas de J . As distâncias horizontais e verticais dos pontos até J são facilmente calculadas somando os lados dos triângulos, e a força de 5 kN foi decomposta em força vertical e horizontal. Consideramos os momentos anti-horários como positivos. Então:

∑ M J = - 3 16 + D y 24 + 4 - 5 sen ⁡ 30 ° 32 + 4 - 5 cos ⁡ 30 ° ( 8 sen ⁡ 60 ° ) = 0

⇒ - 48 + 28 D y - 5 2 36 - 5 3 2 8 3 2 = 0

⇒ - 48 + 28 D y - 90 - 30 = 0

Isolando D y , encontramos o valor:

28 D y = 168 ⇒ D y = 6   k N

Passo 3

Agora que temos D y , podemos achar as forças pedidas nas equações de equilíbrio para o corpo que separamos. Primeiro vamos tentar achar C D . Como queremos uma equação que não contenha as outras duas forças para encontrarmos C D diretamente, fazemos o momento em torno de G ( C G e G H passam nesse ponto).

∑ M G = 0 ⇒ C D 8 sen ⁡ 60 ° + D y 4 - 5 sen ⁡ 30 ° 12 - 5 cos ⁡ 30 ° 8 sen ⁡ 30 ° = 0

⇒ 8 3 2 C D + 6 4 - 5 2 12 - 5 3 2 8 3 2 = 0

Resolvendo a equação encontramos C D :

4 3   C D + 24 - 30 - 30 = 0 ⇒ 4 3   C D = 36 ⇒ C D = 5,2   k N

Passo 4

Para achar C G fazemos o somatório das forças verticais ser zero:

∑ F y = 0 ⇒ C G sen ⁡ 60 ° + D y - 5 sen ⁡ 30 ° = 0

⇒ 3 2 C G + 6 - 5 2 = 0

Isolando C G achamos o valor da força:

3 2 C G = 5 2 - 6 = 5 2 - 12 2 = - 7 2

⇒ C G = - 7 3 = - 4,04   k N

O valor negativo indica que o sentido da força mostrado no desenho está errado.

Passo 5

Agora que temos C D e C G , podemos fazer as equações de equilíbrio para o nó C para tentar achar B C . Nesse nó só temos duas forças desconhecidas, B C e C H , então com as duas equações de equilíbrio conseguiremos achar B C .

Agora já corrigimos o sentido de C G . Então vamos às equações:

∑ F y = 0 ⇒ - C H sen ⁡ 60 ° + C G sen ⁡ 60 ° = 0

Dividindo tudo por sen ⁡ 60 ° :

- C H + C G = 0 ⇒ C H = C G = 4,04   k N

Agora para o eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ - B C - C H cos ⁡ 60 ° + C D - C G cos ⁡ 60 ° ⇒ - B C - C H 2 + C D - C G 2 = 0

Substituindo os valores das forças:

- B C - 4,04 2 + 5,2 - 4,04 2 = 0 ⇒ - B C - 2,02 + 5,2 - 2,02 = 0

Então:

B C = - 2,02 + 5,2 - 2,02 ⇒ B C = 1,16   k N

Todas as forças são de tração, exceto C G pois encontramos valor negativo.

Resposta

C D = 5,2   k N   ( T )

C G = 4,04   k N   ( C )

B C = 1,16   k N   ( T )

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