Enunciado

Determine as forças nos elementos D E ,   E I , F I e H I da treliça em arco de um telhado.

Passo 1

A força total (vinda de cima) agindo sobre a treliça é a seguinte:

∑ F = 25 + 75 + 100 + 75 + 25

∑ F = 300   k N

E por simetria podemos garantir que essa força será dividida igualmente entre os apoios em A e G , ou seja:

A = G = ∑ F 2 = 150   k N

Passo 2

Para encontrar a força H I , vamos aplicar o método das seções no seguinte pedaço da treliça:

Vamos encontrar expressões para esses ângulos que desenhamos:

α = arctan ⁡ 14 4 = 74,1 °

β = arctan ⁡ 14 6 + 6 + 4 = 41,2 °

γ = α - β = 32,9 °

Agora podemos começar a pensar nas forças. Vamos calcular o momento em relação ao ponto F :

E quando fazemos o momento em relação ao ponto F , ficamos apenas com a força H I e a força de 150   k N no ponto G :

∑ M F = H I d + 150 4 = 0

d = 14 2 + 4 2 sen ⁡ γ = 7,902

E então:

H I = - 150 4 7,902 = - 75,9   k N

Passo 3

E agora vamos mudar a seção que estamos analisando:

E agora vamos considerar primeiro o momento em relação ao ponto E :

∑ M E = 0

∑ M E = - 25 6 + 150 6 + 4 - F I 4 + H I sen ⁡ β 6 + H I cos ⁡ β 4

4 F I = 1350 + - 75,9 6 sen ⁡ 41,2 ° + 4 cos ⁡ 41,2 °

F I = 205   k N

E agora o momento em relação ao ponto I :

∑ M I = 0

∑ M I = - 75 6 - 25 6 + 6 + 150 6 + 6 + 4 - D E 4 cos ⁡ δ + 6 sen ⁡ δ = 0

Onde o ângulo δ pode ser calculado pela seguinte expressão:

δ = arctan ⁡ 3 6 + 4 = 16,7 °

D E = 1650 4 cos ⁡ 16,7 ° + 6 sen ⁡ 16,7 ° = 297   k N

Passo 4

E finalmente podemos calcular a força E I usando a condição de equilíbrio das forças no eixo vertical para as forças nesse mesmo trecho:

∑ F y = 0

∑ F y = - 75 - 25 + 150 - D E sen ⁡ δ - H I sen ⁡ β + E I   4 4 2 + 6 2 = 0

50 - 297 sen ⁡ 16,7 ° - - 75,9 sen ⁡ 41,2 ° + 4 52 E I = 0

E I = - 26,4   k N

Que, pelo sinal comparado ao desenho, é uma força de tração.

Resposta

As forças são H I = - 75,9   k N (tração), F I = 205   k N (tração), D E = 297   k N (compressão), E I = - 26,4   k N (tração).

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