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Calcule a velocidade máxima do cursor B se o sistema é liberado a partir do repouso com x = y . O movimento é no plano vertical. Assuma que o atrito é desprezível. Os cursores possuem massas iguais.

Passo 1

Olhando para a figura, podemos usar o teorema de pitágoras para afirmar o seguinte:

x 2 + y 2 = 0,9 2

Como estamos interessados nas velocidades, vamos derivar essa equação em relação ao tempo, e pela regra da cadeia vamos ter o seguinte resultado:

d d t x 2 + d d t y 2 = 0

d x 2 d x   d x d t + d y 2 d y   d y d t = 0

2 x   x ˙ + 2 y   y ˙ = 0

x x ˙ + y y ˙ = 0

Passo 2

Agora vamos aplicar a lei de conservação de energia:

Δ T + Δ U = 0

A energia cinética é:

Δ T = 1 2 m x ˙ 2 + y ˙ 2

E usando a relação que descobrimos no passo 1 :

x x ˙ + y y ˙ = 0         ⇒       y ˙ = - x y   x ˙

E a energia potencial gravitacional do conjunto é:

Δ U = m g y - 0,9 2

Onde 0,9 2 = 0,9 sen ⁡ 45 ° é a altura da massa B (e o ângulo é de 45 ° porque inicialmente temos x = y ).

E então pela lei de conservação de energia:

1 2 m x ˙ 2 + x 2 y 2   x ˙ 2 + m g y - 0,9 2 = 0

x ˙ 2 x 2 + y 2 y 2 = 2 g 0,9 2 - y

E isolando a velocidade x ˙ do cursor B :

x ˙ = 2 g 0,9 2 - y x 2 + y 2 y 2

Mas lembrando que x 2 + y 2 = 0,9 2 temos o seguinte:

x ˙ = 2 0,9 2 g y 2 0,9 2 - y = 2 0,9 2 g 0,9 2 y 2 - y 3

Passo 3

E agora para maximizar essa função em relação ao y   precisamos encontrar seus pontos críticos:

d x ˙ d y = 2 0,9 2 g 1,8 2 y - 3 y 2 = 0

1,8 2 y - 3 y 2 = 0

y 1,8 2 - 3 y = 0

E a única solução diferente de y = 0 é:

y = 1,8 3 2

Substituindo isso de volta na equação da velocidade:

x ˙ = 2 0,9 2 g 0,9 2 y 2 - y 3

x ˙ = 2 0,9 2 g 0,9 2 1,8 3 2 2 - 1,8 3 2 3

x ˙ = 0,925   m / s

Resposta

A velocidade máxima do cursor B é 0,925   m / s .

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