Enunciado

O caminhão, inicialmente em repouso com um rolo de papel cilíndrico compacto na posição mostrada, se desloca para a frente com uma aceleração constante a . Encontre a distância s que o caminhão percorre antes que o papel role da borda de sua plataforma horizontal. O atrito é suficiente para evitar o deslizamento.

Passo 1

Vamos dizer que, no final das contas, a aceleração do centro de massa do rolo em relação ao solo é a - , na direção horizontal.

Então, pela segunda lei de Newton:

∑ F x = m a -

E a única força que age sobre o rolo nessa direção é a força de atrito F , então:

F = m a -

Ainda temos duas variáveis desconhecidas ( F e a - ), então precisamos de mais uma equação. Vamos olhar para a soma dos momentos em relação ao centro de massa:

∑ M G = I G α

E a única força que produz momento em relação ao centro de massa também é a força de atrito F , ou seja:

F r = I G α

F r = 1 2 m r 2 α

Passo 2

Então ficamos com um sistema de duas equações:

F r = 1 2 m r 2 α F = m a -

E eliminando F entre as duas equações e cortando m :

1 2 r α = a -

E precisamos encontrar uma expressão para a aceleração angular α do rolo. Isso pode ser um pouco confuso, então vamos com calma.

O caminhão se move para frente com a em relação ao solo. E o centro de massa do rolo se move também para frente, com aceleração a - em relação ao solo.

Se você olhar de fora, vai ver o rolo se movendo em direção à traseira do caminhão. Isso acontece apesar de os dois estarem se movendo para frente, porque o caminhão tem um aceleração a > a - .

Então beleza, então como podemos escrever a aceleração angular do rolo?

α = a - a - r

Pense nessa diferença do numerador com o a aceleração da carroceria do caminhão em relação ao rolo. Em outras palavras, a aceleração com que o chão passa por baixo do rolo e faz ele girar.

Substituindo isso na nossa equação:

1 2 r a - a - r = a -

a - a - = 2 a -

a = 3 a -         ⇒         a - = 1 3 a

Passo 3

Agora podemos calcular a aceleração do centro de massa do rolo em relação ao caminhão:

a r e l = a - - a

a r e l = a 3 - a = - 2 3 a

E o sinal negativo indica que essa aceleração aponta para trás.

Com essa aceleração relativa, quanto tempo o rolo leva para percorrer a distância d e cair do caminhão?

x = x 0 + 1 2 a r e l t 2

0 = d - 1 2 2 3 a t 2

t 2 = 3 d a

Beleza, agora podemos responder à pergunta final: qual a distância percorrida pelo caminhão até o rolo cair da carroceria?

É só calcular a distância s percorrida pela aceleração a no tempo t que acabamos de determinar:

s = 1 2 a t 2

s = 1 2 a 3 d a = 3 d 2

Resposta

O caminhão percorre uma distância s = 3 d 2 .

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