Enunciado

Cada uma das barras articuladas possui uma massa ρ por unidade de comprimento, e o conjunto está suspenso em O , no plano vertical. Se as barras são liberadas a partir do repouso com θ praticamente nulo, determine a velocidade angular ω comum a todas as barras quando A , B , C e D se juntam.

Passo 1

Quando o ângulo θ é praticamente nulo, podemos imaginar todo o sistema “empilhado” em uma única reta.

Nesse caso, os pontos O e E estarão um por cima do outro, e o mesmo vale para o par A ,   C e o par B , D . Portanto o centro de massa do sistema estará na altura do ponto fixo O .

Mais tarde, depois que o sistema já foi liberado e o ângulo θ é próximo de 180 ° , os mesmos pares estarão sobrepostos novamente. Nesse caso, o centro de massa do sistema estarã na metade do comprimento dessa barra:

y c m = - 4 b 2 = - 2 b

Se colocarmos o “zero” da nossa energia potencial na altura do ponto O , podemos dizer que a variação da energia potencial do sistema foi:

Δ U = m g ( - 2 b )

E a massa pode ser calculada em função da densidade ρ por unidade de comprimento:

m = ρ 8 b

Então:

Δ U = - 8 ρ b g 2 b = - 16 ρ g b 2

Passo 2

Agora vamos encontrar uma expressão semelhante para a energia cinética do conjunto.

O momento de inércia de cada uma dessas barras de comprimento b em relação a um eixo preso à uma extremidade é:

I = 1 3 m b 2 = 1 3 ρ b 3

Então, como todas adquirem a mesma velocidade angular ω = θ ˙ , a energia cinética do sistema é:

Δ T = 8 1 2 I ω 2 = 8 1 2 1 3 ρ b 3 ω 2

Δ T = 8 6 ρ b 3 ω 2

Passo 3

Agora é só aplicar a lei de conservação de energia:

Δ T + Δ U = 0

8 6 ρ b 3 ω 2 - 16 ρ g b 2 = 0

Dividindo tudo por 8 ρ b 2 :

1 6 b ω 2 - 2 g = 0

ω = 12 g b

Resposta

A velocidade angular comum a todas as barras será ω = 12 g b .

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