Enunciado

A carga de 7,5   k N deve ser suportada pelos dois cabos verticais de aço para os quais σ e = 500 M P a . Se os comprimentos originais dos cabos A B e A C forem 1.250     m m e 1.252,5     m m respectivamente, determine a força desenvolvida em cada cabo depois da suspensão da carga. Cada cabo tem área de seção transversal de 12,5   m m ² .

Passo 1

Falaa!

Vamos entender a situação do nosso problema. Temos dois cabos de aço, um é maior que o outro. Eles dois juntos precisam suportar a carga P = 7,5   k N juntos. Cada um vai resistir a uma parcela dessa carga. E é isso que ele quer saber, a força em cada cabo.

Bora fazer um DLC da carga no ponto A dos cabos:

Com isso, podemos utilizar a fórmula do equilíbrio no eixo y :

∑ F y = 0

T A B + T A C - 7500 = 0

Percebe que a gente tem apenas uma equação que relaciona essas duas incógnitas que queremos achar? Precisamos então de mais uma equação.

Passo 2

Vamos tentar achar essa equação que falta da compatibilidade de deslocamentos.

No início da situação, sem carga, o cabo AB está retinho, mas o AC está frouxo porque ele é maior. Mas por causa da carga, eles vão ser esticados e alongados. Algo assim:

No processo de aplicação da carga, primeiro o cabo que já estava reto vai ser deformado enquando o outro cabo maior vai só ficar reto, nisso o ponto A desce para A ' Aí depois os dois cabos sofrem um alongamento, aí o ponto A ' desce e vai para A ' ' .

Aí da figura, vemos que o alongamento total do cabo AB é igual a 2,5   m m mais o alongamento de A C . Aí podemos escrever assim:

δ A B = δ A C + 0,0025

Passo 3

Agora, temos que aplicar a fórmula de δ   para cada um:

δ = N L E A

Fica assim:

δ A B = δ A C + 0,0025

T A B L A B E a ç o A A B = T A C L A C E a ç o A A C + 0,0025

T A B = E a ç o A A B L A B ⋅ T A C L A C E a ç o A A C + 0,0025

Aqui é importante notar que a gente pode considerar que E a ç o = 200   G P a

T A B = 12,5 ⋅ 10 - 6 × 200 × 10 9 1,250 T A C × 1,2525 12,5 ⋅ 10 - 6 × 200 × 10 9 + 0,0025

T A B = 1,002 T A C + 5000 N

Essa é nossa segunda equação.

Passo 4

Agora, achamos as T ' s pelo sisteminha de suas equações:

T A B + T A C - 7500 = 0

T A B = 1,002 T A C + 5000

Isolando T A B na equação de cima e substituindo na segunda:

1,002 T A C + 5000 + T A C - 7500 = 0

Isolando T A C

T A C = 2500 2,002 = 1,249   k N

Substituindo isso na primeira equação, e isolando T A B :

T A B = 6,251   k N

Resposta

T A B = 6,251   k N

T A C = 1,249   k N

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