Enunciado

Uma bola cujas extremidades foram truncadas é usada para suportar a carga de apoio P . Se o módulo de elasticidade para o material for E , determine o decréscimo em sua altura quando a carga é aplicada.

Passo 1

Queremos encontrar o decréscimo na altura da “bola” quando a carga P   for aplicada. Para esse caso vamos ter que o decréscimo ( δ ) vai ser dado por uma integral que pode ser calculada como sendo

δ = 2 ⋅ ∫ 0 h P   d y A y ⋅ E

Passo 2

Podemos fazer a seguinte construção geométrica para modelar esse problema

Aplicando Pitágoras no triângulo destacado na figura, vamos ter

x 2 = r 2 - y 2

Assim, vamos ter

A y = π ⋅ x 2 → A y = π ⋅ r 2 - y 2  

Também podemos fazer o seguinte pitágora

r 2 2 = r 2 - h 2 → h = 3 2 ⋅ r = 0,866 ⋅ r

Passo 3

Por fim, basta substituirmos os valores nas integrais e está resolvido o nosso problema

δ = 2 ⋅ ∫ 0 h P   d y A y ⋅ E = 2 P E ⋅ ∫ 0 h   d y π ⋅ r 0 2 - y 2

δ = 2 P π ⋅ E ⋅ 1 2 r ⋅ ln ⁡ r + y r - y 0 0 , 866 r 0 =   2,63 ⋅ P π ⋅ r 0 ⋅ E

Resposta

δ = 2,63 ⋅ P π ⋅ r 0 ⋅ E

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O corpo de prova representa um sistema de matriz reforçado por filamentos feitos de plástico (matriz) e vidro (fibra). Se houver n fibras, cada uma com área de seção transversal A f e módulo E f , emb
O carregamento distribuído é sustentado pelas três barras de suspensão. A B e E F são feitas de alumínio eC D é feita de aço. Se cada barra tiver área de seção transversal de 450mm 2 , determine a int
O elo rígido é sustentado por um pino em A , um cabo de aço B C com comprimento de 200mm quando não alongado com área de seção transversal de 22,5mm 2 e um bloco curto de alumínio com 50mm de comprime
As três barras de suspensão são feitas do mesmo material e têm áreas de seção transversal iguais, A . Determine a tensão normal média em cada barra se a viga rígida A C E for submetida à força P .
A barra está presa por um pino em A e é sustentada por duas hastes de alumínio, cada uma com diâmetro de 25mm e módulo de elasticidade E a l =70GPa . Considerando que a barra é rígida e inicialmente v