Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige - Capítulo 5.6 - Ex. 132

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desse livro

A carga P é abaixada pelas duas polias que estão presas uma a outra e giram como um só conjunto. Para o instante representado, o tambor A possui uma velocidade angular no sentido anti-horário de 4 rad/s, que está diminuindo em 4 rad/s a cada segundo. Simultaneamente, o tambor B possui uma velocidade angular no sentido horário de 6 rad/s, que está aumentando em 2 rad/s a cada segundo. Calcule a aceleração dos pontos C e D e a carga P.

Passo 1

Antes de começar a desenvolver, vamos evidenciar os dados da questão, pois o enunciado dá algumas informações de uma forma não muito explícita.

ω A = 4 r a d s ,   S A H       /         α A = 4 r a d s 2 ,   S H

ω B = 6 r a d s ,   S H         /           α B = 2 r a d s 2 ,   S H

Agora, representar a Figura com esses dados:

Calculando as velocidades e acelerações dos pontos A e B, temos:

v A = ω A × r A = 4 × 0,15 = 0,6 m / s ( ↓ )

a A = α A × r A = 4 × 0,15 = 0,6 m / s 2 ( ↑ )

v B = ω B × r B = 6 × 0,15 = 0,9 m / s ( ↓ )

a B = α B × r B = 2 × 0,15 = 0 , 3 m / s 2 ( ↓ )

Passo 2

Sabendo as velocidades e acelerações dos pontos A e B, podemos calcular a velocidade angular ω e a aceleração angular α da polia O.

Representando apenas os vetores aceleração, temos que:

Onde a distancia dos vetores a A   e   a B   equivale a distância BA. Por semelhança, temos que:

α = a A + a B B A = 0,6 + 0,3 0,75 = 1,2 r a d s 2 ,   S A H

De forma análoga, a velocidade angular pode ser dada por:

ω = v B - v A B A = 0,9 - 0,6 0,75 = 0,4 r a d s ,   S A H

Ainda por semelhança, podemos calcular a aceleração do centro da polia O:

α = a A G A = a O G O

1,2 = 0,6 G O + 0,25 = a O G O

Então:

G O = 0,25 m

a O = 0,3 m / s 2 ↑

Passo 3

Neste passo, vamos aplicar a equação da aceleração relativa para calcular a aceleração no ponto C:

a C = a O + ( a c / O ) n + ( a C / O ) t

a C = 0,3 j ^ - 0,4 2 0,5   i ^ + 1,2 k ^ × 0,5 i ^

a C = - 0,08 i ^ + 0,9 j ^   m / s 2

De modo análogo, calculamos a aceleração no ponto D:

a D = a O + ( a D / O ) n + ( a D / O ) t

a D = 0,3 j ^ - 0,4 2 0,5   j ^ + 1,2 k ^ × 0,5 j ^

a D =   - 0,6 i ^ + 0,22 j ^   m / s 2

Resposta

a C = - 0,08 i ^ + 0,9 j ^   m / s 2

a D =   - 0,6 i ^ + 0,22 j ^   m / s 2

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