Enunciado

A carga por pé de comprimento da viga varia conforme mostrado. Para x = 10 pés, a carga unitária é w = 300 lb / pés. Em x = 0, a carga está aumentando a uma taxa de 50 lb / pés por pé. Calcule as reações de suporte em A e B.

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é determinar os coeficientes da função de carregamento

Função de carga:

w = k 1 x + k 2 x 2

Vamos calcular o coeficiente k1 a partir do fato de que a inclinação da função de carga é igual à primeira derivada.

w ' = k 0 + k 1 x + k 2 x 2 ' w ' = k 1 + 2 k 2 x

Como dissemos, em x = 0, a inclinação é w’= 50 lb / ft

50 = k 1 + 2 k 2 ⋅ 0   ⇒   k 1 = 5 0

Em x = 10, a intensidade é w = 300, então colocaremos esses valores na função para determinar o coeficiente k2. Também substituiremos k1 por seu valor

300 = 50 ⋅ 10 + k 2 ⋅ 10 2 300 = 500 + 100 k 2   ⇒   k 2 = - 2

Como determinamos os coeficientes k1 e k2, podemos escrever a função da carga como:

w = 50 x - 2 x 2

Passo 2

Uma vez que a intensidade da carga é igual à área sob a curva, determinaremos o R resultante integrando a função parabólica ao longo do intervalo: [0≤x≤10]

R = ∫ 0 10   50 x - 2 x 2 d x

Integre o lado direito da equação em relação a dx

R = 50 x 2 2 - 2 x 3 3 0 10

Substitua x por 10

R = 50 ⋅ 10 2 2 - 2 ⋅ 10 3 3 R = 1833.33 l b

Uma vez que a resultante atua no centróide da área, podemos calcular a distância do eixo W como:

x - = 1 R ∫ 0 10   x w d x x - = 1 R ∫ 0 10   x 50 x - 2 x 2 d x x - = 1 1833.33 ∫ 0 10   50 x 2 - 2 x 3 d x

Integre o lado direito da equação em relação a dx

x - = 1 1833.33 50 x 3 3 - 2 x 4 4 0 10

Substitua x por 10

x - = 1 1833.33 50 ⋅ 10 3 3 - 2 ⋅ 10 4 4 x - = 6.364 f t

Passo 3

Agora podemos desenhar o diagrama de corpo livre com carga distribuída substituída por R resultante

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos determinar a força de reação Ax

∑ F x = 0

A x = 0

Ao igualar o momento sobre ponto A a zero, podemos determinar a força de reação By

∑ M A = 0

1833.33 ⋅ 6.364 - 10 B y = 0

Podemos expressar By como

B y = 1833.33 ⋅ 6.364 10

B y = 1166.73 l b

Finalmente, ao igualar a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar a força de reação Ay

∑ F y = 0

A y + B y - R = 0

Substitua R e By com seus valores

A y + 1166.73 - 1833.33 = 0 A y - 666.60 = 0

A y = 666.60 l b

Resposta

A x = 0 A y = 666.60 l b B y = 1166.73 l b

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