Enunciado

Se o carrinho da montanha-russa parte do repouso em A e sua velocidade escalar aumenta em a t = 6 - 0,06 s   m / s 2 , determine a intensidade da sua aceleração quando ela alcança B onde s B = 40   m .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 30 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos as componentes da aceleração. Agora, a questão também nos pede o ângulo que a aceleração faz com o eixo x . Este dado será um pouco trabalhoso de obtermos, pois precisaremos fazer uma análise geométrica.

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = x 50

y ' ' = d 2 y d x 2 = 1 50

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + x 2 2500 3 / 2 1 50

Quando x = 30 , temos:

ρ = 79,3   m

Passo 3

Para calcularmos a componente normal, precisamos determinar antes a velocidade. Como parte do repouso, v 0 = 0 . Desta forma, temos:

∫ o v v d v = ∫ 0 s a   d s

v 2 2 = ∫ 0 s 6 - 0,06 s   d s

v 2 = 12 s - 0,06 s 2

v = 12 s - 0,06 s 2

Portanto quando s = 40 , temos:

v = 19,6   m / s

Passo 4

Agora podemos calcular a componente normal da aceleração. Desta forma, temos:

a n = v 2 ρ = 19,6 2 79,3 = 4,8   m / s 2

E a componente tangencial da aceleração é:

a t = 6 - 0,06 ⋅ 40 = 3,6   m / s 2

Portanto, a intensidade da aceleração é:

a = a t 2 + a n 2

a = 3,6 2 + 4,8 2

a = 6   m / s 2

Resposta

a = 6   m / s 2

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