Enunciado

As duas partículas de massa m e 2 m , respectivamente, estão conectadas por uma haste rígida de massa desprezível e deslizam com atrito desprezível em uma trajetória circular de raio r no interior do anel circular vertical. Se a unidade é liberada a partir do repouso em θ = 0 , determine (a) a velocidade v das partículas quando a haste passa a posição horizontal, (b) a velocidade máxima v m á x das partículas, e (c) o valor máximo de θ .

Passo 1

Vamos considerar que a altura em que está o centro do anel é a que define o potencial gravitacional igual a zero.

Nesse caso, como as partículas são liberadas em θ = 0 , a energia potencial inicial é:

U 0 = 0 - m g r

Onde o zero corresponde à bola de massa 2 m e - m g r corresponde à bola de massa m .

Para qualquer outro ângulo θ a energia potencial do conjunto é:

U = - 2 m g r sen ⁡ θ - m g r cos ⁡ θ

Já que precisamos multiplicar o peso das bolas pela distância vertical até o ponto de potencial zero.

Então a variação da energia potencial é:

Δ U = - 2 m g r sen ⁡ θ - m g r cos ⁡ θ + m g r

Δ U = m g r - 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ + 1

Passo 2

(a) Agora vamos utilizar a lei de conservação de energia:

Δ U + Δ T = 0

m g r - 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ + 1 + 1 2 3 m v 2 = 0

v 2 g r = 2 3 2 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

E agora já podemos olhar para a primeira pergunta: quando a haste passa pela posição horizontal (fica paralela ao chão) ela é perpendicular à reta vertical que passa pelo centro do anel!

Olhando para a figura podemos ver que acontece quando θ = 45 ° , então:

v 2 g r = 2 3 2 sen ⁡ 45 ° + cos ⁡ 45 ° - 1

E substituindo os valores numéricos:

v = 0,865 g r

Passo 3

(b) E agora, olhando para a fórmula, vamos tentar determinar em qual ângulo θ a velocidade é máxima:

v 2 g r = 2 3 2 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

Tecnicamente só queremos achar o θ que maximiza a velocidade, mas nesse caso podemos simplificar as coisas e simplesmente buscar o máximo de v 2 g r , porque o resultado será o mesmo.

f θ = 2 3 2 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

E derivando em relação a θ :

f ' θ = 2 3 2 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ = 0

2 cos ⁡ θ = sen ⁡ θ

tan ⁡ θ = 2

θ = 63,4 °

E esse é o ângulo que maximiza a velocidade. Substituindo na fórmula de cima:

v 2 g r = 2 3 2 sen ⁡ ( 63,4 ° ) + cos ⁡ ( 63,4 ° ) - 1

v = 0,908 g r

Passo 4

(c) Agora queremos saber o valor máximo de θ .

Quando a barra entra em movimento, podemos presumir que ela vai ganhar velocidade até um certo ponto de retorno e então “oscilar”. Isso quer dizer que o ponto de velocidade máxima acontece quando a energia cinética é nula:

T = 0         ⇒     v = 0

E pela nossa fórmula:

v 2 g r = 2 3 2 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

2 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

E vamos reescrever uma das funções trigonométricas:

2 1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ θ

E elevando os dois lados ao quadrado:

4 1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - 2 cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

5 cos 2 ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ - 3 = 0

E podemos chamar cos ⁡ θ = x e resolver essa equação de 2 ° grau:

5 x 2 - 2 x - 3 = 0

x = 2 ± 2 2 - ( 4 ) ( 5 ) ( - 3 ) 10 = 2 ± 8 10 = 0,2 ± 0,8

E substituindo o cosseno de volta ficamos com dois ângulos possíveis:

x = 1       ⇒     θ = 0

x = - 0,6         ⇒       θ = 126,9 °

Mas como queremos o valor máximo de θ :

θ m á x = 126,9 °

Resposta

(a) v = 0,865 g r  

(b) v = 0,908 g r  

(c) θ m á x = 126,9 °

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