Enunciado

O carro A está viajando na velocidade constante de 60   k m / h enquanto contorna a curva circular com 300   m de raio e no instante representado está na posição θ = 45 ° . O carro B está viajando na velocidade constante de 80   k m / h e passa pelo centro do círculo neste mesmo instante. O carro A é localizado em relação ao carro B pelas coordenadas polares r e θ com o pólo se deslocando com B . Para esse instante determine v A B e os valores de r ˙ e θ ˙ conforme medidos por um observador no carro B .

Passo 1

Sejam v A = 60   k m / h = 16,67   m / s e v B = 80   k m / h = 22,22   m / s as velocidades em módulo dos carros A e B , respectivamente. Considerando o eixo x positivo para a direita, o eixo y positivo para cima e a origem no centro, temos:

v A = - v A cos ⁡ 45 ° i + v A   s e n 45 °   j = - 16,67 0,707   i + 16,67 0,707   j

v A = 11,79   i + 11,79   j

v B = - v B   i + 0   j

v B = - 22,22   i + 0   j

A velocidade relativa será então dada por:

v A B = v A - v B = 11,79 - - 22,22   i + 11,79 - 0   j

v A B = 34,01   i + 11,79   j

E o módulo dela será:

v A B = 34,01 2 + 11,79 2

v A B = 36 ,   0   m / s

Passo 2

A mesma velocidade v A B também pode ser escrita em coordenadas polares, assim:

v A B = r ˙   e r + r θ ˙   e θ

onde e r será o vetor unitário na direção da distância r e e θ será o vetor unitário girado de 90 ° no sentido anti-horário a partir de e r . Então podemos decompor e r e e θ em coordenadas retangulares assim:

e r = - cos ⁡ 45 °   i + s e n   45 °   j = - 0,707   i + 0,707   j

e θ = - cos ⁡ 45 ° i - s e n   45 °   j = - 0,707   i - 0,707   j

Logo, podemos reescrever a velocidade v A B assim:

v A B = r ˙   - 0,707   i + 0,707   j + r θ ˙   - 0,707   i - 0,707   j

v A B = - 0,707   r ˙ - 0,707   r θ ˙   i + 0,707   r ˙ - 0,707   r θ ˙   j

Como já sabemos que r = 300   m , vamos substituir de uma vez:

v A B = - 0,707   r ˙ - 212   θ ˙   i + 0,707   r ˙ - 212   θ ˙   j

Passo 3

Agora vamos igualar a expressão de v A B que acabamos de encontrar ao seu valor que já conhecíamos:

v A B = - 0,707   r ˙ - 212   θ ˙   i + 0,707   r ˙ - 212   θ ˙   j = 34,01   i + 11,79   j

Igualando componente a componente, resulta num sistema de duas equações e duas incógnitas:

- 0,707   r ˙ - 212   θ ˙ = 34,01

0,707   r ˙ - 212   θ ˙ = 11,79

cuja solução é:

r ˙ = - 15,71   m / s

θ ˙ = - 0,108   r a d / s

Se considerarmos o sentido de aumento do ângulo θ como a seta indica na figura, oposto ao que usamos em nossos cálculos, obteremos:

θ ˙ = + 0,108   r a d / s

Resposta

v A B = 36 ,   0   m / s

r ˙ = - 15,71   m / s

θ ˙ = + 0,108   r a d / s

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O cilindro hidráulico H puxa a barra BC a 1m/s, calcular a velocidade escalar va da placa A.
A extremidade da corda em B é puxada a uma velocidade vb=2m/s e esta velocidade diminui a uma taxa de 1m/s², em um dado instante. Determinar as velocidades e aceleração de em A.
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Determinar a velocidade escalar do elevador se cada motor recolher o cabo a uma velocidade constante de 5m/s.
No sistema de polias abaixo, a extremidade A do cabo é puxada a 5m/s, determinar a velovidade escalar vb do cilindro B.