Enunciado

Para aumentar sua velocidade, o esquiador aquático A cruza através da marola do barco de reboque B , que tem uma velocidade de 60   k m / h . No instante em que θ = 30 ° , o caminho real do esquiador faz um ângulo β = 50 ° com a corda de reboque. Para esta posição determine a velocidade v A do esquiador e o valor de θ ˙ .

Passo 1

Observando os ângulos θ e β , podemos concluir o seguinte sobre a velocidade vetorial do esquiador A , cuja direção é o “caminho real” citado pelo enunciado:

v A = - v A cos ⁡ β - θ   i + v A   s e n   β - θ   j

v A = - v A cos ⁡ 20 °   i + v A   s e n   20 °   j

v A = - 0,94 v A   i + 0,342 v A   j

Como o barco só tem velocidade v B = 60   k m / h para a esquerda, podemos escrever:

v B = - 60   i + 0   j

Para a velocidade relativa do esquiador em relação ao barco, repare que ela deve ser perpendicular à corda, é como se ele estivesse fazendo um movimento circular, então:

v A B = - v A B cos ⁡ 90 ° - θ   i + v A B   s e n   90 ° - θ   j

v A B = - 0,5 v A B   i + 0,866 v A B   j

Passo 2

Lembre-se que a relação entre as velocidades deve ser:

v A = v B + v A B

Olhando cada componente separadamente, isso resulta em duas equações:

- 0,94 v A = - 60 - 0,5 v A B

0,342 v A = 0 + 0,866 v A B

Resolvendo esse sistema de equações, obtemos:

v A B = 31,9   k m / h

v A = 80,8   k m / h

Por último, para obter θ ˙ , pense no movimento circular do esquiador de velocidade v A B = 31,9   k m / h = 8,86   m / s e raio r igual ao tamanho da corda, r = 10   m :

v A B = r θ ˙

8,86 = 10   θ ˙

θ ˙ = 0,886   r a d / s

Resposta

v A = 80,8   k m / h

θ ˙ = 0,886   r a d / s

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