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O carro está viajando a uma velocidade escalar de 30   m / s . O motorista, então, aciona os freios em A e, assim, reduz a velocidade escalar do carro a uma razão de a t = - 0,08 v   m / s 2 , onde v é dado em m / s . Determine a aceleração do carro pouco antes de ele chegar ao ponto C da curva circular. O carro leva 15   s para viajar de A para C.

Passo 1

Para determinarmos a aceleração do carro, precisamos calcular antes a sua velocidade no ponto C. Somente a partir deste ponto é que poderemos calcular a sua componente normal! Para isto, vamos utilizar as equações da cinemática!

Passo 2

Começaremos determinando a função da velocidade. Sendo assim, temos:

d v = a   d t

d v = - 0,08 v d t

d v v = - 0,08   d t

∫ 30 v d v v = ∫ 0 t - 0,08   d t

ln ⁡ v 30 = - 0,08 t

v = 30 e - 0,08 t

Portanto, após 15   s , temos:

v = 9,03   m / s

Passo 3

Agora, vamos determinar o comprimento do arco s A B , para que possamos determinar o raio de curvatura. Utilizando as equações da cinética, temos:

∫ 0 s d s = ∫ 0 t v   d t

s = ∫ 0 t 30 e - 0,08 t   d t

s = 375 1 - e - 0,08 t

Após 15   s , o carro percorreu a seguinte distância:

s = 375 1 - e - 0,08 ⋅ 15

s = 262   m

Entretanto, esta distância é toda a distância percorrida pelo carro, seja na curva ou no trecho retilíneo. Sendo assim, o comprimento do arco é:

s A B = 262 - 100 = 162   m

E o raio de curvatura será dado por:

ρ = s A B θ = 162 π 4 = 206,3   m

Passo 4

Agora podemos calcular a componente normal da aceleração. Desta forma, temos:

a n = v 2 ρ = 9,03 2 206,3 = 0,4   m / s 2

E a componente tangencial da aceleração é:

a t = - 0,08 ⋅ 9,03 = 0,72   m / s 2

Portanto, a intensidade da aceleração é:

a = a t 2 + a n 2

a = 0,72 2 + 0,4 2

a = 0,83   m / s 2

Resposta

a = 0,83   m / s 2

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