Enunciado

A chapa em ângulo reto é fabricada a partir de uma chapa plana com massa ρ por unidade de área e está soldada no eixo horizontal montado no mancal em O . Se o eixo é livre para girar, determine a aceleração angular inicial α da chapa quando for liberada a partir do repouso com a superfície superior no plano horizontal. Determine também as componentes y e z da força resultante sobre o eixo em O .

Passo 1

Vamos começar encontrando o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo O .

I = I v e r t i c a l + I h o r i z o n t a l

Onde I v e r t i c a l é o momento de inércia da placa que está na vertical em reção ao eixo O . A massa de cada chapa pode ser calculada em função da densidade superficial ρ :

m = ρ A = ρ b c

Então:

I v e r t i c a l = 1 3 m b 2

E para escrever I h o r i z o n t a l vamos precisar do teorema dos eixos paralelos:

I h o r i z o n t a l = 1 12 m b 2 + m d 2

Onde d é a distância entre o centro de massa da chapa horizontal e o eixo O . Podemos usar o teorema de pitágoras para calcular essa distância:

d 2 = b 2 + b 2 2 = b 2 + b 2 4 = 5 b 2 4

E então:

I h o r i z o n t a l = 1 12 m b 2 + 5 4 m b 2

De forma que o momento de inércia total é:

I = 1 12 + 5 4 + 1 3 m b 2 = 5 3 m b 2

E com isso podemos calcular a aceleração angular em torno do eixo O :

∑ M O = I α

E a única força que produz momento em torno desse eixo é o peso da placa horizontal (já que a linha de ação do peso da placa vertical atravessa o eixo):

m g b 2 = I α

ρ g b 2 c 2 = 5 3 ρ b 3 c α

α = 3 g 10 b

Passo 2

Agora vamos construir um esquema da situação para que possamos aplicar a segunda lei de Newton.

A ideia desse diagrama é representar as acelerações dos centros de massa de cada uma das barras quando o sistema tem aceleração angular α em torno do eixo O :

Como a única força que atua na direção da linha pontilhada é O y , a segunda lei de Newton dá o seguinte resultado:

O y = m b 2 α + m d α cos ⁡ β = m α b 2 + d cos ⁡ β  

E podemos calcular cos ⁡ β = b / d através do desenho:

O y = m 3 g 10 b b 2 + d b d

O y = 3 g m 10 b 3 2 b = 9 g m 20

E substituindo m = ρ b c :

O y = 9 ρ b c g 20

Passo 3

E ainda aproveitando o mesmo desenho, vamos considerar a segunda lei de Newton na direção do eixo z (a vertical no desenho).

As forças que agem nessa direção são O z e os dois pesos, e a única aceleração resultante é a outra componetne da aceleração do centro de massa da chapa horizontal:

∑ F z = O z - 2 m g = - m d α sen ⁡ β

O z = 2 m g - m d α sen ⁡ β

E pelo desenho é fácil ver que sen ⁡ β = b 2 d , então:

O z = 2 m g - m b 2 3 g 10 b

O z = 2 m g - 3 m g 20 = 37 20 m g

E substituindo m = ρ b c :

O z = 37 20 ρ b c g

Resposta

A aceleração angular inicial é α = 3 g 10 b . As componentes da força são O z = 37 20 m ρ b c g e O y = 9 20 ρ b c g .

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