Enunciado

A chave de banda é útil para afrouxar e apertar itens como o filtro de água para toda a casa E mostrado. Suponha que os dentes da chave não escorreguem na banda no ponto C e que a banda esteja frouxa de C até sua extremidade D. Determine o coeficiente mínimo μ de atrito estático para o qual a banda não escorregará em relação ao filtro fixo.

Passo 1

Ao assumir que a tensão T2 é maior que T1, podemos escrever a expressão

T 2 = T 1 ∙ e μ β

Podemos ver no esboço abaixo que o ângulo β é

β = 270 °

β = 1.5 π   rad

Portanto, a expressão para a tensão T2 é agora

T 2 = T 1 ∙ e 1.5 μ π                     ( 1 )

Passo 2

A seguir, desenharemos o diagrama de corpo livre do cabo com a força aplicada P, a tensão do cabo T2 e as forças de reação em C atuando nele

Ao igualar a soma das forças na direção y a zero, determinaremos a força de atrito FC

∑ F y = 0

F C - P = 0

F C = P

Equacionando a soma dos momentos sobre o ponto C a zero, determinaremos a tensão T2

∑ M C = 0

195 P - 55 T 2 = 0

T 2 = 195 P 55

T 2 = 3.545 P

Passo 3

Equacionando a soma das forças na direção x a zero, determinaremos a força de reação normal NC

∑ F x = 0

N C - T 2 = 0

N C = T 2

N C = 3.545 P

A seguir, vamos analisar a tensão no cabo logo acima do ponto C

Teremos a tensão do cabo atuará na guerra, enquanto a força de fricção do filtro FF atuará na direção oposta

Passo 4

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, determinaremos a força de reação normal NF

∑ F x = 0

N F - N C = 0

N F = N C

N F = 3.545 P

Uma vez que precisamos determinar o atrito estático mínimo, vamos assumir que a força FF é a força de atrito máxima

F F = μ N F

F F = μ ∙ 3.545 P

Ao igualar a soma das forças na direção y a zero, escreveremos a expressão para a tensão T1

∑ F y = 0

F F - T 1 - F C = 0

T 1 = F F - F C

Vamos substituir FF por μ ∙ 3.545 P e FC por P

T 1 = μ ∙ 3.545 P - P                     ( 2 )

Finalmente, uma vez que escrevemos a expressão para a tensão T1, e já determinamos a tensão T2, podemos substituir T1 pela expressão (2) e T2 por seu valor na equação (1)

T 2 = T 1 ∙ e 1.5 μ π                   ( 1 )

3.545 P = μ ∙ 3.545 P - P ∙ e 1.5 μ π

Podemos dividir os dois lados da equação por P

3.545 = μ ∙ 3.545 - 1 ∙ e 1.5 μ π

Passo 5

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), plotaremos a função à direita e simplesmente leremos μ para o valor de 3,545

μ = 0.4201

Resposta

μ = 0.4201

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