Enunciado

O cilindro C de 1,5 kg desloca-se ao longo da trajetória descrita por r = ( 0,6 sen ⁡ θ ) m. Se o braço O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante de θ ˙ = 3 rad/s, determine a força exercida pela ranhura lisa no braço O A sobre o cilindro no instante θ = 60 ° . A mola tem rigidez de 100 N/m e não está deformada quando θ = 30 ° . O cilindro está em contato apenas com uma borda com ranhura. Despreze a dimensão do cilindro. O movimento ocorre no plano horizontal.

Passo 1

O Problema nos deu as seguintes informações:

Massa do cilindro C : m = 1,5   k g

Velocidade angular constante: θ ˙ = 3 rad/s

Rigidez da mola: k = 100 N/m

Movimento no plano horizontal.

A questão pede para determinarmos a força exercida pela ranhura lisa sobre o cilindro quando θ = 60 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde F O A é a força exercida pela ranhura do braço,   N é a força normal e F s é a força exercida pela mola sobre o cilindro.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um circulo, a direção de N será a mesma do raio deste círculo.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais.

Em r :

r = 0,6 sen ⁡ θ   m

r ˙ = d r d t = 0,6 θ ˙ cos ⁡ θ m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 0,6 θ ˙ 2 sen ⁡ θ + 0,6 θ ¨ cos ⁡ θ   m / s 2

Como θ ˙ é constante,

d θ ˙ d t = θ ¨ = 0

Para θ = 60 ° :

θ ˙ = 3   r a d / s

θ ¨ = 0   r a d / s 2

r = 0,52   m

r ˙ = 0,9   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 4,68   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 4,68 - 0,52 ( 3 2 ) = - 9,36   m / s 2

a θ = 0,52 0 + 2 ( 0,9 ) ( 3 ) = 5,4   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada ao cilindro.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde β e α são os ângulos de base.

β = α

Através da imagem fornecida pelo enunciado, vemos que

β = 90 ° - θ

Portanto, para θ = 60 ° , temos que β = 30 ° = α .

Passo 5

A força elástica exercida é dada por

F s = k ∆ l

Onde o comprimento da mola é igual a r .

O comprimento não deformado da mola é dado em θ = 30 ° . Logo,

l 0 = 0,6 sen ⁡ 30 ° = 0,3   m

O comprimento final da mola l é igual ao valor de r em θ = 60 ° . Portanto, temos que

F s = k ∆ l = k l - l 0

F s = 100 0,52 - 0,3

F s = 21,96   N

Passo 6

Aplicaremos as Equações do Movimento.

No eixo r :

∑ F r = m a r

- F s + N cos ⁡ α = m a r

N = 1,5 - 9,36   + 21,96 cos ⁡ 30 °

N = 9,15   N

No eixo θ :

∑ F θ = m a θ

F O A - N sen ⁡ α = m a θ

F O A = 1,5 5,4   + 12,2 sen ⁡ 30 °

F = 12,67   N

Resposta

F = 12,7   N

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