Enunciado

A sonda Viking aproxima-se do planeta Marte em uma trajetória parabólica, como mostrado. Quando ele alcança o ponto A , sua velocidade é de 10 Mm/h. Determine r 0 e a velocidade necessária em A de maneira que ele possa manter uma órbita circular, como mostrado. A massa de Marte é 0,1074 vezes a massa da Terra.

Passo 1

O enunciando nos informa que:

A trajetória é parabólica;

Velocidade da sonda em A : v A = 10   M m / h = 2,778   10 3   m / s

Massa de Marte: M M = 0,1074   M e

E pede para determinarmos Determine r 0 e a velocidade necessária em A de maneira que a sonda possa manter uma órbita circular.

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Vamos tranformar v A de M m / h para m / s , que é a unidade utilizada em geral.

v A = 10 10 6 m h   1   h 3600   s = 2,778   10 3   m / s

Passo 2

Quando a sonda Viking alcança o ponto A através de uma trajetória parabólica, sua velocidade no ponto A é dada por

v A = 2 G M M r 0

2,778   10 3 = 2 ( 66,73 ) 10 - 12 0,1074 5,976 10 24 r 0

r 0 = 11,101 10 6   m = 11,1   M m

Passo 3

Quando a sonda viaja através de uma trajetória circular onde r 0 = 11,101 10 6   m , sua velocidade é dada por

v A ' = G M r r 0

v A ' = 2 ( 66,73 ) 10 - 12 0,1074 5,976 10 24 11,101 10 6

v A ' = 1964,19   m / s

Resposta

r 0 = 11,1   M m

v A ' = 1964,19   m / s

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