Enunciado

O piloto de um avião executa um loop vertical que em parte segue a trajetória de uma cardioide, r = 180 ( 1 + cos ⁡ θ ) m . Se a sua velocidade em A   ( θ = 0 ° ) é uma constante v P = 24   m / s , determine a força vertical que o cinto de segurança exerce sobre ele para segurá-lo ao seu assento quando o avião está de cabeça para baixo em A . Ele pesa 750 N (M ≅ 75 kg).

Passo 1

O Problema nos deu as seguintes informações:

Massa do piloto: M   ≅ 75   k g

Peso do piloto: W = 750   N

Velocidade constante em A : v P = 24   m / s

Como sabemos a força peso exata ( W = 750   N ) e que W = m g , vamos encontrar o valor mais aproximado de m ao invés de usar a aproximação dada pela questão.

m = W g = 750 9,81 = 76,45   k g

A questão pede para determinarmos a força normal exercida pelo cinto de segurança sobre o piloto quando θ = 0 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Passo 2

Sabemos que a trajetória é definida por

r = 180 ( 1 + cos ⁡ θ ) m

As derivadas temporais em r são:

r ˙ = d r d t = - 180 θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 180 θ ˙ 2 cos ⁡ θ - 180 θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

Para   θ = 0 ° ,   t e m o s   q u e  

r = 360   m

r ˙ = 0   m / s

r ¨ = - 180 θ ˙ 2   m / s 2

Passo 3

Sabemos que v P é a velocidade do piloto no A . Esta velocidade possui componentes radial e transversal ( v P 2 = v r 2 + v θ 2 ) dados por

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

Portanto,

v P 2 = r ˙ 2 + r θ ˙ 2

24 2 = 0 + 360 θ ˙ 2

θ ˙ 2 = 24 360 = 0,0044  

θ ˙ = 0,0667   r a d / s

Substituindo esse resultado em r ¨ , obtemos

r ¨ = - 0,8   m / s 2

Agora vamos derivar v P em relação ao tempo para obtermos o valor de θ ¨ :

v P 2 = r ˙ 2 + r θ ˙ 2

2 v P v P ˙ = 2 r ˙ r ¨ + 2 r r ˙ θ ˙ 2 + 2 r 2 θ ˙ θ ¨

Como v P é constante em A , v P ˙ = 0 .

0 = 0 + 0 + 2 360 2 ( 0,0044 ) θ ¨

θ ¨ = 0   r a d / s 2

Passo 4

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 0,8 - 360 ( 0,0044 ) = - 2,4   m / s 2

a θ = 0   m / s 2

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N - W = m a r

N = ( 76,45 ) - 2,4 + 750

N = 566,5   N

Resposta

N = 566,5   N

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