Enunciado

O cilindro A recebe uma velocidade inicial de 2m/s de cima para baixo, determinar as velocidades dos cilindros A e B após 3 segundos.

Passo 1

Podemos achar a velocidade do cilindro B em função do da velocidade do cilindro A, como:

2 S a + 2 S b = l

Derivando a equação e sabendo que o comprimento L é constante, temos:

2 v a + s v b = 0

v b = - v a

Portanto, o cilindro B terá a mesma velocidade do cilindro A, porém com o sentido oposto, ou seja, de baixo para cima.

Passo 2

Podemos fazer um DCL de A e identificar os esforços agindo sobre ele.

Podemos assim ver que os esforços que agem sobre A, logo serão apenas a força peso Pa e a tração T nos cabos, e sabendo que a velocidade de va é para baixo, sendo que adotaremos o sentido positivo de Y como sendo para cima, teremos que:

m a * - v a 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 F y d t = m a * - v a 2

8 * ( - 2 ) + ( 2 T * 3 - P a * 3 = 8 * - v a 2

Assim, teremos:

- 16 + 6 T - 8 * 9,81 * 3 = 8 * - v a 2

Isolando vx2, teremos:

- v a 2 = 6 T - 251,44 8                       ( 1 )

Fazendo para o cilindro B, de forma análoga a A, temos:

m b * v b 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 F y d t = m b * v b 2

Sabemos que sua velocidade é de mesma intensidade de A, porém de sentido oposto, e, como estará no sentido positivo adotado de Y, então teremos que:

m b * v a 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 F y d t = m b * - v a 2

Portanto;

10 * 2 + ( 2 * T * 3 - P b * 3 ) = 10 * - v a 2

Assim:

20 + 6 T - 10 * 9,81 * 3 = 10 * - v a 2

Isolando va2, teremos que:

v a 2 = - 20 - 6 T + 294,3 10                     ( 2 )

Passo 3

Somando as equações (1) e (2) que obtemos:

0 = 6 T - 251,44 8 + ( - 6 T + 274,3 ) 10

Rearranjando, temos que:

6 T - 251,44 = - 6 T + 274,3 * 8 10

Então:

6 T + 4,8 T = 219,44 + 251,44

Resolvendo a equação, teremos que:

T =   43,6 N

Aplicando o valor de T em (1), teremos que:

- v a 2 = 6 * T - 251,44 8 = 1,27

v a 2 = - 1,27 m / s

Como vb2 é de mesma intensidade de va2, porém de sentido oposto, teremos que:

v b 2 = 1,27 m / s

Resposta

Após 3 segundos, o cilindro A estará descendo com uma velocidade de 1,27m/s e o cilindro B estará subindo com a mesma velocidade. A tração no cabo que conecta os dois cilindros é de 43,6N.

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