Enunciado

Se a massa da Terra é M e , mostre que a energia potencial gravitacional de um corpo de massa m localizado uma distância r do centro da Terra é:

V s =   - G M e m / r

Lembre-se de que a força gravitacional atuando entre a Terra e o corpo é:

F = G ( M e m r 2 )

Para o cálculo estabeleça a referência a uma distância “infinita” da Terra, além disso, prove que F é uma força conservativa.

Passo 1

O trabalho para a força F movendo um corpo da posição r 1 para a uma posição distante r 2 pode ser calculado por

E g = - W = ∫ F d r

= - ∫ r 1 r 2 G ( M e m r 2 ) d r

= - G M e m ∫ r 1 r 2 d r r 2

= - G M e m 1 r 2 - 1 r 1

Passo 2

Como r 1 → ∞ , temos que r 2 = r 1 , F 2 = F 1 , então

E g → - G M e m r

Para ser uma força conservativa,

F = - ∇ E g = - ∂ ∂ r - G M e m r = - G M e m r 2

Resposta

uma força é conservativa se, e somente se, pode ser expressa como o gradiente de uma função escalar. Como foi provado por F = - G M e m r 2 . E o trabalho de uma tal força entre dois pontos r 1 e r 2 quaisquer depende apenas do valor que a energia potencial associada assume em r 1 e r 2 .

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