Enunciado

O poste A de aço inoxidável 304 tem diâmetro d =   50   m m e está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25   k N à tampa rígida, determine a tensão normal média desenvolvida no poste e no tubo.

Passo 1

Falaaa meu povo, bora resolver mais essa?

Nós temos esse maravilhoso poste feito de dois materiais, e temos a carga total que o sistema recebe. Cada material vai resistir a uma parcela dessa carga.

Pra determinar a tensão normal em cada material, que é o que ele pede, a gente vai precisar da carga suportada por cada um separadamente. A gente pode desenhar um diagrama de corpo livre pra ver como isso vai rolar.

Esse diagrama é tipo um corte do poste, tá? Aí temos a parte de aço que é maciça cilíndrica e a parte de latão que é oca e cilíndrica. Por equilíbrio a gente vê que:

∑ F y = F a ç o + F l a t - 25 = 0

F a ç o + F l a t = 25 k N

Temos uma equação e duas incógnitas. Então precisamos encontrar mais uma relação entre as duas forças.

Passo 2

Bem, podemos pensar na equação de compatibilidade dos deslocamentos pra resolver essa parada. Como? Vamos analisar como esses caras se deformam por causa da carga. Teriamos algo assim:

A carga age sobre essa “tampa” do poste. Essa tampa não se deforma né? A gente considera pelo enunciado que ela é uma chapa rígida. Então, se não há deformação, ela permance reta. Logo, a altura que ela desce no meio, ela desce igualmente nas extremidades.

Então se o aço encurta um valor δ a ç o , o latão vai ter o mesmo valor de encurtamento, independente da quantidade de carga que cada um recebe. Aí nesse caso:

δ l a t = δ a ç o

Lembrando que o deslocamento axial é dado por:

δ = F L E A

Passo 3

Beleza, sabendo dos nossos objetivos mãos á obra. Vamos usar a equação dos deslocamentos pra encontrar a relação entre as forças:

δ = F L E A

Pela compatibilidade a gente tem:

δ l a t = δ a ç o

F l a t L E l a t A l a t = F a ç o L E a ç o A a ç o

Aqui a gente corta o L, e isola o aço.

F a ç o = F l a t E a ç o A a ç o E l a t A l a t

Pelo nome dos materiais que ele deu, temos esses módulos de elasticidade tabelados:

E a ç o = 193 G P a

E L a t = 101 G P a

A área do aço é:

A = π d 2 4 = π × 50 2 4

E a área do latão que é um tubo vazado é:

A l a t = π r e 2 - r i 2 = π 75 2 - 75 - 12 2

Colocando na equação a gente tem:

F a ç o = π 50 2 193 4 π ( 75 2 - 63 2 ) ( 101 ) F l a t

F a ç o = 0,721 F l a t

Passo 4

Voltando a equação do inicio a gente pode substituir o que encontramos no passo 3.

F a ç o + F l a t = 25 k N

0,721 F l a t + F l a t = 25 k N

E isolando:

F l a t = 25 1,721 = 14,52 k N

Então substituindo para a força do aço:

F a ç o = 0,721 × 14,52 = 10,48 k N

Passo 5

Agora, basta substituirmos os dados na equação da tensão normal:

σ = F A

E com as áreas e forças calculadas temos.

σ a ç o = 10,48 × 10 3 π 4 × 50 2    

σ a ç o = 5,335   M P a

Para o latão, temos:

σ l a t = 14,52 × 10 3 π ( 75 2 - 63 2 )

σ l a t = 2,792   M P a

Resposta

σ a ç o = 5,335   M P a

σ l a t = 2,792   M P a

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