Enunciado

15. As componentes do estado plano de deformação no ponto da aba da bequilha são ϵ x = ( - 400 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 860 × 10 - 6 ) e γ x y = ( 375 × 10 - 6 ) . Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo θ   =   30 ° em sentido anti-horário em relação à posição original. Trace um esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano x - y . Utilize o círculo de Mohr.

Passo 1

Vamos seguir passo a passos os procedimentos para construir o círculo de Mohr:

Calcularemos a deformação normal média que será o centro do círculo:

ϵ m é d i a =   ϵ x + ϵ y 2

ϵ m é d i a =   ( - 400 × 10 - 6 ) + ( 860 × 10 - 6 ) 2

ϵ m é d i a = ( 230 × 10 - 6 )

Passo 2

Agora devemos achar o raio R do círculo:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

R = ( - 400 × 10 - 6 ) - ( 860 × 10 - 6 ) 2 2 + ( 375 × 10 - 6 ) . 2 2

R = ( 675,31 × 10 - 6 )

Passo 3

Como já temos o raio e o centro do nosso círculo, já podemos construí-lo

Passo 4

O ângulo φ foi achado da seguinte maneira:

φ = tan - 1 ⁡ 187,5 630

φ = 16,574 °

Passo 5

Agora, se você reparar bem a questão nos fornece que o elemento está orientado a um ângulo θ   =   30 ° em sentido anti-horário em relação à posição original. Como no círculo de Mohr, trabalhamos com o dobro do ângulo em que o elemento está orientado 2 θ   =   60 ° , podemos achar o ângulo α como:

α = φ + 60 °

α = 76,574 °

Passo 6

Por meio do círculo, podemos calcular a deformação normal equivalente ϵ x ' no eixo x ' como:

ϵ x ' = ϵ m é d i a - R cos ⁡ α

ϵ x ' = [ 230 × 10 - 6 - 675,31 × 10 - 6 cos ⁡ 76,754 ° )

ϵ x ' = ( 77,4 × 10 - 6 )

Passo 7

De modo semelhante ao passo anterior, vamos calcular a deformação normal equivalente ϵ y ' no eixo y ' :

ϵ y ' = ϵ m é d i a + R cos ⁡ α

ϵ y ' = [ 230 × 10 - 6 + 675,31 × 10 - 6 cos ⁡ 76,754 ° )

ϵ y ' = ( 383 × 10 - 6 )

Passo 8

Finalmente, calcularemos a deformação por cisalhamento do nosso elemento como:

γ x ' y ' 2 = R sen ⁡ α

γ x ' y ' 2 = 675,31 × 10 - 6 sen ⁡ 76,754 °

γ x ' y ' = 1279 × 10 - 6   r a d

Passo 9

Como já obtemos nossas deformações, vamos fazer o esboço do nosso elemento, dado que ele está orientado a 30 ° no sentido anti-horário. Ele vai ter, então, a seguinte cara:

Resposta

ϵ x ' = 77,4 × 10 - 6

ϵ y ' = 383 × 10 - 6

γ x ' y ' = 1,279 × 10 - 3   r a d

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