Enunciado

13. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave de porca são ϵ x = ( 350 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 400 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 675 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações principais no plano e a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x - y .

Passo 1

Primeiro, calcularemos as deformações principais no plano:

ϵ 1,2 =   ϵ x + ϵ y 2 ± ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando os valores numéricos na fórmula:

ϵ 1,2 = 350 + 400 2 ± 350 - 400 2 2 + - 675 2 2 ( 10 - 6 )

ϵ 1,2 = 375 ± - 25 2 + - 337,5 2 ( 10 - 6 )

ϵ 1,2 ≅ 375 × 10 - 6 ± ( 338,424 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ 375 × 10 - 6 + ( 338,424 × 10 - 6 )

ϵ 1 ≅ ( 713,4 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ 375 × 10 - 6 ± ( 338,424 × 10 - 6 )

ϵ 2 ≅ ( 36,6 × 10 - 6 )

Passo 2

Calculemos, em seguida, no estado das tensões principais, o valor do ângulo 2 θ p , através da sua tangente:

tg ⁡ 2 θ p = γ x y ϵ x - ϵ y = ( - 675 × 10 - 6 ) 350 × 10 - 6 - ( 400 × 10 - 6 ) = 13,5

2 θ p = 85,8 °

θ p = 42,9 °

Como θ p = θ p , 1 :

θ p 1 = 42,9 °

E o valor de θ p , 2 , nós obtemos como:

θ p 2 = 42,9 ° - 90 ° = - 47,1 °

Passo 3

Calculando agora ϵ x ' , dado que já temos o valor de θ p 1 :

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

Vamos trocar os valores de cada variável, como de costume:

ϵ x ' =   350 - 400 2 +   350 - ( - 400 ) 2 ⋅ cos ⁡ 2 42,9 ° + - 675 2 ⋅ sen ⁡ 2 42,9 ° ( 10 - 6 )

ϵ x ' = ( 36,6 × 10 - 6 )

Passo 4

Em seguida, determinaremos a deformação por cisalhamento máxima no plano:

γ m á x , p l a n o 2 = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando pelos valores numéricos adequados:

γ m á x , p l a n o 2 = 350 × 10 - 6 - 400 × 10 - 6 2 2 + ( - 675 × 10 - 6 ) 2 2

γ m á x , p l a n o = 677 × 10 - 6  

Passo 5

E também precisamos calcular a deformação normal média, né! Pois partiu, usar sua fórmula:

ϵ m é d i a = ϵ x + ϵ y 2

Substituindo pelos valores devidos, chegamos até:

ϵ m é d i a = 350 × 10 - 6 + 400 × 10 - 6 2 = ( 375 × 10 - 6 )

ϵ m é d i a = 375 × 10 - 6

Passo 6

Calculando agora, a tangente de ( 2 θ s ) :

tg ⁡ 2 θ s = ϵ x - ϵ y γ x y = 350 × 10 - 6 - ( 400 × 10 - 6 ) ( - 675 × 10 - 6 ) = - 0,0740

2 θ s = - 4,24 °

θ s = - 2,12

Como θ s = θ s 1 , temos que:

θ s 1 = - 2,12 °

E o valor do outro ângulo θ s 2 , é dado por:

θ s 2 = 90 ° - 2,12 ° = 87,88 °

Pronto! Já temos o que a questão exige! Falta só os desenhinhos das distorções do nosso elemento no plano x - y . Vamos então, usar os valores que obtivemos, para fazer esses esboços:

Primeiro, vamos fazer o desenho das deformações principais no plano, dado que temos o valor do ângulo θ p 1 = 42,9 ° , entre os eixos x e x ' .

E aqui está o esboço da distorção do nosso elemento!

Resposta

As deformações principais no plano são:

ϵ 1 = 713,4 × 10 - 6

ϵ 2 = 36,6 × 10 - 6

A deformação por cisalhamento máximo é:

γ m á x , p l a n o = 677 × 10 - 6  

E a deformação normal média:

ϵ m é d i a = 375 × 10 - 6

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