Enunciado

7. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem são ϵ x = ( 850 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 480 × 10 - 6 ) e γ x y = ( 650 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações principais no plano e a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x - y .

Passo 1

Primeiro, calcularemos as deformações principais no plano:

ϵ 1,2 =   ϵ x + ϵ y 2 ± ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando os valores numéricos na fórmula:

ϵ 1,2 = 850 + 480 2 ± 850 - 480 2 2 + 650 2 2   ( 10 - 6 )

ϵ 1,2 = 665 × 10 - 6 ± ( 373,96 × 10 - 6 )

ϵ 1 = 1039 × 10 - 6

ϵ 2 = 291 × 10 - 6

Passo 2

Agora, vamos calcular a tangente de 2 θ p no plano:

tg ⁡ 2 θ p = γ x y ϵ x - ϵ y = ( 650 × 10 - 6 ) 850 × 10 - 6 - ( 480 × 10 - 6 ) = 1,757

2 θ p = 60,4 °

O primeiro ângulo θ p 1 , é dado pela metade de 2 θ p :

θ p 1 = 30,2 °

E para achar o outro ângulo θ p 2 , basta somar 90 ° com θ p 1 :

θ p 2 = 90 ° + 30,2 ° = 120,2 °

Passo 3

Calculando também, ϵ x ' :

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2   ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ ( 2 θ )

ϵ x ' =   850 + 480 2 + 850 - 480 2 ⋅ cos ⁡ 2 30,2 ° + 650 2 ⋅ sen ⁡ 2 30,2 ° ( 10 - 6 )

ϵ x ' = 1039 × 10 - 6

Passo 4

E depois, calcularemos a deformação por cisalhamento máxima no plano, através da fórmula abaixo:

γ m á x , p l a n o 2 = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

Trocando por valores numéricos adequados:

γ m á x , p l a n o 2 = 850 × 10 - 6 - 480 × 10 - 6 2 2 + ( 650 × 10 - 6 ) 2 2

γ m á x , p l a n o = 748 × 10 - 6  

Passo 5

E a deformação normal média é dada por:

ϵ m é d i a = ϵ x + ϵ y 2

Substituindo os valores numéricos correspondentes:

ϵ m é d i a = 850 × 10 - 6 + 480 × 10 - 6 2 = ( 665 × 10 - 6 )

ϵ m é d i a = ( 665 × 10 - 6 )

Passo 6

O próximo passo é calcular a tangente de ( 2 θ s ) :

tg ⁡ 2 θ s = ϵ x - ϵ y γ x y = 850 × 10 - 6 - ( 480 × 10 - 6 ) ( 650 × 10 - 6 ) = - 0,57

2 θ s = - 29,68 °

O primeiro ângulo θ s 1 é dado pela metade do ângulo 2 θ s :

θ s 1 ≅ - 14,8 °

E o segundo ângulo θ s 2 é dado por:

θ s 2 ≅ 90 ° - 14,8 ° = 75,2 °

Resposta

As deformações principais no plano são:

ϵ 1 = 1039 × 10 - 6

ϵ 2 = 291 × 10 - 6

A deformação por cisalhamento máximo é:

γ m á x , p l a n o = 748 × 10 - 6  

E a deformação normal média é dada por:

ϵ m é d i a = 665 × 10 - 6

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