Enunciado

Considere o caso geral de uma viga prismática sujeita às componentes de momento fletor My

e Mz, como mostra a figura, quando os eixos x, y, z passam pelo centroide da seção transversal. Se o material for linear elástico, a tensão normal na viga é uma função linear da posição tal que σ = ax + by + cz. Usando as condições de equilíbrio: 0 =   ∫ A σ d A , M y =   ∫ A z σ d A , M z =   ∫ A - y σ d A , determine as constantes a, b e c e mostre que a tensão normal pode ser determinada pela equação σ = [-(MzIy+MyIyz)y +(MyIz+MzIyz)z]/(IyIz-Iyz²).

Passo 1

Faaaala, meu povo bonito!! Tudo bem com vocês?? A nossa questão de hoje nos diz que essa viga, se o material dela for elástico, vai ter uma tensão normal no modelo de uma função linear para qualquer posição. A partir disso, ele nos pede os coeficientes da função (a, b e c) e para mostrar que a tensão pode ficar igual aquele troço ali. Bom, vamos começar.

Passo 2

Na hora que aplicamos a componente do eixo x do nosso σ direto na integral, temos que:

0 =   ∫ A σ x d A = ∫ A a   +   b y   +   c z d A   =   a ∫ A d A + b ∫ A y d A + c   ∫ A z d A  

Opa, podemos fazer isso para o My e o Mz!!

M y =   ∫ A z σ x d A = ∫ A z a   +   b y   +   c z d A   =   a ∫ A z d A + b ∫ A y z d A + c   ∫ A z ² d A

M z =   ∫ A - y σ x d A = ∫ A - y a   +   b y   +   c z d A   = -   a ∫ A y d A - b ∫ A y 2 d A - c   ∫ A y z d A

E também sabemos que:

0 = ∫ A y d A = ∫ A z d A

Passo 3

Como podemos cancelar alguns fatores com essa relação, vamos ter:

My = bIyz + cIy

Mz = -bIy - cIyz

Por causa dessas equações, chegamos a

a = 0, b = - ( I y M z + M y I z y ) ( I y I z - I z y 2 ) , c = I z M y + M z I z y ( I y I z - I z y 2 )

E, finalmente, podemos substituir esses coeficientes naquele nosso σ lá de cima que ele deu e achar

σ = - ( I y M z + M y I z y ) ( I y I z - I z y 2 ) y + I z M y + M z I z y ( I y I z - I z y 2 ) z

Resposta

a = 0, b = - ( I y M z + M y I z y ) ( I y I z - I z y 2 ) , c = I z M y + M z I z y ( I y I z - I z y 2 )

σ = - ( I y M z + M y I z y ) ( I y I z - I z y 2 ) y + I z M y + M z I z y ( I y I z - I z y 2 ) z

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