Enunciado

A tábua é usada como uma trave de assoalho simplesmente apoiada. Se um momento fletor M = 1,2 kN.m for aplicado a 3º em relação ao eixo z, determine a tensão desenvolvida na tábua no canto A. Compare essa tensão com a desenvolvida pelo mesmo momento aplicado ao longo do eixo z (θ = 0º). Qual é o ângulo para o eixo neutro quando θ = 3º?

Comentário: Normalmente, as tábuas do assoalho seriam pregadas à parte superior da viga de modo que θ ~ 0º e a alta tensão devido a um mau alinhamento eventual não ocorreria.

Passo 1

Faaaala, meu povo bonito!! Tudo bem com vocês?? A questão de hoje veio inspirada no halloween e já chegou tentando assustar a todo mundo. Mas, como vocês são espertos, não vão cair na pegadinha dele. Então, vamos ler com cuidado e ver o que ele pede.

Sabemos que a barra está apenas apoiada, não tendo reações de apoio nas extremidades e ele nos diz o momento fletor aplicado direto no centroide, com um ângulo de 3º em relação ao eixo Z.

Ele já nos deu o momento. Então a informação de que a barra está biapoiada desse jeito é só para gente saber que não há esforços normais.

Com esses dados, ele nos pede para calcular a tensão naquele canto superior esquerdo (mais conhecido como ponto A) e para compararmos com a tensão quando o fletor está inteiro no eixo Z.

Além de pedir também o ângulo para o eixo neutro (ou linha neutra também) quando o fletor ainda está aplicado em 3º. Parece ser muita coisa e difícil, mas vou te mostrar como é tranquilinho de fazer. Bora!

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser: desenhar a peça olhada de frente, ou seja, com os eixos Y e Z no plano da tela, e indicar os momentos e o ângulo α que ele pediu.

Agora que já temos nossos desenhinhos prontos, vamos decompor aquele fletor nas coordenadas Y e Z e achar o I para cada uma delas.

M y   =   1,2   s e n ( 3 ° )   =   0,0628   k N . m

M z   =   1,2   c o s ( 3 ° )   =   1,1983   k N . m

I y = 0,15   x   ( 0,05 ) ³ 12 = 1,5625   x   10 - 6   m 4

I z = 0,05   x   ( 0,15 ) ³ 12 = 1,40625   x   10 - 5 m 4

Passo 3

Pronto!! Temos todas as informações que precisávamos calculadas, só precisamos aplicar fórmula.

No ponto A, temos que a tensão é o somatório de todas as tensões aplicadas em cada eixo. No nosso caso, só temos as produzidas pelo fletor. Então nossa fórmulinha de tensão fica:

σ A = M y c z I y + M z c y I z

Nós somamos a tensão, porque ambos os momentos causam tração no ponto A . Esses valores de c serão a posição de A em relação a cada eixo.

Substituindo nossos valores

σ A = 1,1983   x   10 ³   x   0,075   1,40625   x   10 - 5 +   0,0628   x   10 ³   x   0,025   1,5625   x   10 - 6  

σ A = 7,40   M p a

Passo 4

Se o ângulo fosse igual a zero, nossa tensão seria apenas do momento sendo aplicado no eixo Z. Aí nossa fórmulinha ficaria:

σ A = M z c y I z

Onde M z = 1,2   k N . m , já que não teríamos que decompor esse momento, porque ele já estaria no eixo z.

σ A ' = 1,2   x   10 ³   x   0,075   1,40625   x   10 - 5 = 6,40   M P a  

Passo 5

Agora, só falta calcular o ângulo com a linha neutra para o caso onde θ = 3 ° , que não é nada além de uma relação entre tangentes dada pela fórmulinha:

t g α = I z   x   t g 3 º I y     ∴   α = 25,25 º

Resposta

σ A = 7,40   M P a

σ A ' = 6,40   M P a

α = 25,25 º

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