Enunciado

Para a seção, Iy’ = 31,7(10-6)m4, 12, Iz’ = 114(10-6)m4, Iy'z' = 15,1(10-6)m4. Usando as técnicas apresentadas no Apêndice A, a área da seção transversal do elemento tem momentos principais de inércia IY = 29,0(10-6)m4 e Iz= 117(10-6)m4, calculados em torno dos eixos principais de inércia y e z, respectivamente. Se a seção for submetida a um momento M = 2.500 N · m direcionado como mostra a figura, determine a tensão produzida no ponto A.

Passo 1

Faaaala, meu povo bonito!! Tudo bem com vocês?? Nossa questão de hoje já chegou fazendo carinho e nos dando os principais elementos da noite: os momentos de inércia, tanto para o eixo cartesiano clássico, quanto para o eixo rotacionado de 10,10º. O que ele nos pede é para calcular a tensão produzida no ponto A quando essa seção receber um momento aplicado na horizontal igual a 2500 N.m. Sacou??

Passo 2

Primeira coisa que vamos fazer aqui é usar a geometria analítica para encontrar a equação da reta para achar as coordenadas de A, já que os eixos estão fora do eixo (entenderam a piada?? Kkkkk Não?? Ok, vamos voltar).

R e t a   y   c o m   i n c l i n a ç ã o   α   =   10,1 º   :   y   =   -   5,614 x

R e t a   A   q u e   p a s s a   p e l o s   p o n t o s   ( 0,0 )   e   ( 60   m m ,   - 140   m m )   :   y A   =   0,178 x   –   150,688

R e t a   z   c o m   i n c l i n a ç ã o   α   =   10,1 º   :   y z   =   t g ( 10,1 º ) x   =   0,178 x

Quando igualamos y   =   y A   , temos o ponto de intersecção das retas em

x   :   x   =   26,016   m m

Se substituirmos x em y, vamos encontrar o ponto de intersecção das retas em

y   :   y   =   - 146,054   m m

Agora, depois de tanta reta de um lado pro outro, vamos fazer o módulo da distância entre o ponto A e a intersecção com y, nos dando sua nova coordenada.

y   =   x A - x o 2 + ( y A - y o ) ²   =   - 148,35   m m

Assim, achamos que o ponto A (60 mm, -140 mm) está a distante da intersecção das retas y e yA de:

z   =   x A - x 2 + ( y A - y ) ²   =   - 34,519   m m

Pera, esse valor é igual à coordenada z do ponto A!!

Passo 3

Pronto, agora não temos mais mistério. Já temos as novas coordenadas do ponto A e os momentos de inércia que o problema nos deu, agora só falta achar os momentos para cada eixo.

M y   =   2500 . c o s ( 10,1 º )   =   438,42   N . m

M z   =   2500 . s e n ( 10,1 º )   =   2461,26   N . m

Sabemos que a tensão resultante será a soma de cada uma das componentes dos momentos de cada eixo. Sendo assim:

σ= -(M_z y)/I_z +(M_y z)/I_y =2,6 MPa

Resposta

σ = 2,6   M P a

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