Enunciado

O eixo está sujeito às cargas vertical e horizontal de duas polias, como mostra a figura, e está apoiado em dois mancais em A e B, que não oferecem nenhuma resistência à carga axial. Além do mais, podemos considerar que o acoplamento ao motor em C não oferece nenhum apoio ao eixo. Determine o diâmetro d exigido para o eixo se a tensão de flexão admissível para o material for σadm = 180 MPa

Passo 1

Faaaala, meu povo bonito!! Tudo bem com vocês?? Na questão de hoje, vamos determinar o diâmetro (ou duas vezes o raio, como preferir) de um eixo a partir de uma tensão de flexão admissível. Ok, esse nome pomposo pode assustar de cara, mas vai ficar mais fácil do que sentar no pudim (perdoem, a tia aqui não tem mais a idade de vocês, mas aceito sugestões para as próximas piadinhas sem graça). Voltando ao nosso assunto, vamos ver o que nosso exercício está pedindo. Ele nos conta que temos uma barra, que está apoiada nos pontos A e B, recebendo duas forças através das polias: uma horizontal e uma vertical. Como ele nos diz que o motor não oferece nenhum apoio, não temos forças naquele ponto, ele só impede que ela rotacione. Agora que já entendemos o que ele nos dá, vamos aos cálculos.

Passo 2

Então vamos lá!! Como o motor não deixa o eixo rotacionar, sabemos que o Momento em torno do ponto C é zero, assim como o somatório das forças em X e em Z. Para ficar mais fácil de sabermos para que lado cada força está atuando, vamos usar os unitários de cada eixo para representa-los, ok?? Então, teremos i para o eixo X, j para o Y e k para o Z. Pelo apoio em B, teremos duas forças de reação, uma em j e uma em k, assim como em A.

∑     M c   =   0

( B z k   –   B y j )   +   ( 2 i   +   0,1 j ) ( -   400 k )   +   ( 2 i   –   0,1 j ) ( - 400 k )   +   ( 3 i ) ( A y j   +   A z k )   +   ( 4 i   –   0,06 k ) ( - 150 j )   +   ( 4 i   +   0,06 k ) ( - 150 j )   =   0  

Arrumando essa bagunça, teremos:

( 1.600   –   B z   –   3 A z ) j   +   ( 3 A y   –   B y   –   1.200 ) k   =   0  

Disso, tiramos que:

3 A z   +   B z   =   1.600             e                 3 A y   –   B y   =   1.200

Agora que já vimos as equações do momento, vamos analisar as forças.

↑   ∑   F z   =   0   :     A z   +   B z   –   800   =   0

↑   ∑   F y   =   0     :     A y   –   B y   –   300   =   0

Na hora que solucionamos as equações, achamos:

A y   =   450   N

B y   =   150   N

A z   =   400   N

B z   =   400   N

Passo 3

Ok, já calculamos nossas reações de apoio; agora, vamos para a parte divertida: achar nossos momentos máximos em Y e Z. Para isso, vamos montar nossos diagramas marotos e descobrirmos quais os momentos máximos para cada um deles.

Momento em Y:

Momento em Z:

Agora que nossos diagramas estão montados, vamos pegar nossos momentos máximos em cada um deles (lembrando que, em Z, -150 é maior do que -300 – eu sei que você sabe, mas não custa relembrar) e achamos o valor máximo total.

M m á x = M y 2   + M z ²   =   427,2   N . m

Com o nosso M calculado, vamos jogar na nossa fórmula da tensão. Maaaas, antes disso, precisamos calcular nosso I pela formulinha.

I   =   0,25 . π .   r 4

Opa, pera, não temos ainda esse r. Então, como vamos calcular?? Exatamente pela tensão admissível que ele nos deu!!

σ a d m = M m á x   .   r I

180 = 427,2   x   10 ³   .   r 0,25 . π .   r 4

r   =   14,46   m m

Loooogo,

D   =   2 r   =   28,9   m m

Resposta

D   =   2 r   =   28,9   m m

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