Enunciado

Considere duas esferas de ferro, cada uma com diâmetro de 100   m m , que estão apenas se tocando. A que distância r do centro da Terra a força de atração mútua entre as esferas em contato será igual à força exercida pela Terra sobre uma das esferas?

Passo 1

Nós queremos igualar duas forças diferentes: a força gravitacional entre duas esferas, e a força gravitacional entre a Terra e uma das esferas.

Vamos começar calculando a força entre as duas esferas, para isso vamos usar a definição da força gravitacional:

F 1 = G m 1 m 2 d 2

Como as duas esferas são iguais, m 1 = m 2 = m , e a distância entre os centros das duas será igual a duas vezes o raio (ou seja, o diâmetro D ) de cada esfera.

F 1 = G m 2 D 2

Passo 2

E agora vamos ver a força entre uma das esferas e a Terra:

F 2 = G M T m r 2

Agora vamos igualar as duas equações:

F 1 = F 2

G M T m r 2 = G m 2 D 2

M T r 2 = m D 2

r = M T D 2 m

Agora falta encontrar os valores numéricos.

Passo 3

Consultando a massa da Terra em uma tabela obtemos:

M T ≅ 5,97   .   10 24   k g

D = 100   m m = 0,1   m

E podemos consultar a densidade do ferro em uma tabela para calcular a massa:

ρ = m V     ⇒         m = ρ V

Onde o volume da esfera segue a seguinte fórmula:

V = 4 3 π R 3 = 4 3 π 0,05 3 ≅ 5,23   .   10 - 4   m 3

E substituindo tudo:

m = 7210 k g m 3 5,23.10 - 4 ≅ 3,77   k g

E agora temos:

r = 5,97   .   10 24 0,1 2 ( 3,77 ) ≅ 1,25   .   10 11   m

Resposta

A distância deve ser de aproximadamente 1,25   .   10 11   m .

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