Enunciado

Considere um tubo de parede fina de raio médio r e espessura t . Mostre que a tensão de cisalhamento máxima no tubo devido a um torque T se aproxima da tensão de cisalhamento média calculada pela Equação 5.18 quando r t → ∞ .

Passo 1

Em resumo, o questão nos pede pra provar a equação 5.18.

Olhando a figura a baixo, percebemos que na área infinitesima d A , a tensão de cisalhamento é decorrente de uma certa força d F . Essa força é resultado do torque aplicado sobre a estrutura.

Por isso, precesamos nos lembrar da definição de tensão:

τ = d F d A d F = τ ⋅ d A

Da definição de torque (torque é igual a força vezes distância):

d T = r ⋅ d F

Substituíndo a primeira na segunda:

d T = r ⋅ τ ⋅ d A

Passo 2

Ainda observando a área infinitesimal, percebe-se que ela é aproximadamente quadrada. Então sua área pode ser determinada como:

d A = t ⋅ d s

Passo 3

Vamos agora substituir a equação da área na equação do torque:

d T = r ⋅ τ ⋅ t ⋅ d s

E integramos ao redor do caminho para obter o torque:

T =   ∮ r ⋅ τ ⋅ t ⋅ d s

Se considerarmos que a tensão e a espessura são constantes:

T =   τ ⋅ t ⋅ ∮ r ⋅ d s

Passo 4

Precisamos determinar o valor da integral de linha acima. Para isso vamos olhar a figura:

Perceba que o a área em laranja d A m é um triângulo com base d s e altura r . Podemos determinar d A m como:

d A m = 1 2 r ⋅ d s r ⋅ d s = 2 ⋅ d A m

Podemos substituir a expressão acima na nossa integral:

T =   τ ⋅ t ⋅ ∮ r ⋅ d s

T =   τ ⋅ t ⋅ ∮ 2 ⋅ d A m T =   2 A m ⋅ τ ⋅ t

E fazendo algumas manipulações chegamos na equação 5.18:

τ = T 2 ⋅ t ⋅ A m

Resposta

τ = T 2 ⋅ t ⋅ A m

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