Enunciado

Construa os diagramas de cortante e de momento para a viga carregada do Prob. 5/113, repetida aqui. Determine os valores máximos de cortante e suas posições na viga.

Passo 1

Para calcular a força cortante e o momento fletor na viga, fazemos um corte na coordenada x a partir de A e isolamos em diagrama de corpo livre a parte esquerda da viga. Calculamos a força e o momento resultantes causados pela distribuição de forças no trecho e assim determinamos V e M aplicando as condições de equilíbrio.

Passo 2

A força de apoio em A e a intensidade da força na viga ω são tirados do Prob. 5/113, onde temos:

A = 6840   N

ω = 2400 - 50 9 x 3

Então isolamos em diagrama de corpo livre a parte à esquerda de um corte feito a x m de A :

Passo 3

Precisamos calcular a força resultante R causada pela distribuição de forças nesse trecho para encontrar V . A força causada em um elemento de espessura d x de coordenada x ' é:

d R = ω d x = 2400 - 50 9 ( x ' ) 3 d x '

Note que agora x é considerado uma constante, pois é o tamanho do nosso trecho. O que varia é a quantidade que chamamos de x ' , que vai de 0 a x . Então integramos:

R = ∫ 0 x 2400 - 50 9 ( x ' ) 3 d x = 2400 x ' - 50 36 ( x ' ) 4 0 x = 2400 x - 25 18 x 4

Pelo equilíbrio das forças verticais, achamos então V :

6840 - 2400 x - 25 18 x 4 - V = 0

⇒ V x = 25 18 x 4 - 2400 x + 6840

Passo 4

Agora para encontrar M precisamos do momento resultante M R causado pela distribuição de forças em torno do ponto de coordenada x . Sabemos que a força causada num elemento é:

d R = 2400 - 50 9 ( x ' ) 3 d x '

A distância desse elemento até a coordenada x da viga é:

x - x '

Então temos:

d M R = ( x - x ' ) 2400 - 50 9 ( x ' ) 3 d x '

Lembrando que x é uma constante! Integramos então de 0 a x :

M R = ∫ 0 x x - x ' 2400 - 50 9 ( x ' ) 3 d x '

= ∫ 0 x 2400 x - 50 9 x x ' 3 - 2400 x ' + 50 9 x ' 4 d x

= 2400 x x ' - 50 36 x x ' 4 - 1200 x ' 2 + 10 9 x ' 5 0 x

= 2400 x 2 - 25 18 x 5 - 1200 x 2 + 10 9 x 5

= - 5 18 x 5 + 1200 x 2

Então obtemos M R fazendo ser zero o momento em torno da seção de coordenada x :

∑ M x = 0 ⇒ M R - 6840 x + M = 0

⇒ - 5 18 x 5 + 1200 x 2 - 6840 x + M = 0

⇒ M x = 5 18 x 5 - 1200 x 2 + 6840 x

Passo 5

Tendo então as funções V ( x ) e M ( x ) , representamos graficamente os diagramas de cortante e de momento:

Passo 6

Agora vamos calcular a coordenada x onde o valor máximo de M ( x ) . Ele ocorre no mesmo ponto onde V x = 0 , pois nesse ponto V = d M d x = 0 .

V x = 25 18 x 4 - 2400 x + 6840

Com auxílio de um computador chegamos ao resultado x = 2,89   m , e o valor correspondente para M é:

M M á x = 5 18 ( 2,89 ) 5 - 1200 2,89 2 + 6840 ( 2,89 )

= 9801   N ⋅ m

Resposta

V x = 25 18 x 4 - 2400 x + 6840

M x = 5 18 x 5 - 1200 x 2 + 6840 x

M M á x = M 2,89 = 9801   N ⋅ m

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138- A viga está submetida aos dois carregamentos semelhantes mostrados, nos quais a máxima intensidade de carga vale w 0 , em força por unidade de comprimento. Desenvolva expressões para o cortante V
137- Repita o Prob. 5/136 substituindo a carga de 1500N pelo momento de 4.2k N m
141- Desenvolva expressões para o cortante V e o momento fletor M em função de x para a viga em balanço do Prob. 5/108 novamente mostrada aqui.
142- A viga em balanço curva tem a forma de um quarto de círculo. Determine as expressões para o cortante V e o momento fletro M em função de θ .