Enunciado

Determine a coordenada x do centroide do segmento esférico sólido.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  x - =   ∫ x c d V V  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o volume do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação a x e temos o nosso volume.

V = ∫ d V

Agora precisamos deixar em função de x para podermos integrar, o problema já nos informa que é uma região circular, ou seja, a função que descreve a curva é:

x 2 + y 2 = R 2

Sendo que, se olharmos o problema de frente vemos que o raio é a coordenada y e tem uma profundidade x. Assim:

d V = π y 2   d x

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integra, atente que a região de integração está entre R 2   e   R . Dessa maneira:

V = ∫ d V =   ∫ R 2 R π y 2 d x =   ∫ R 2 R π ( R 2 - x 2 ) d x

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nosso volume, sendo que:

V = π ∫ R 2 R ( R 2 - x 2 ) d x = π R 2 x - x 3 3   R R 2

V = π R 3 - R 3 3 - R 3 2 - R 3 24 = 5 24 π R 3

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x c d V

Depois é só dividir pelo volume que teremos o ponto. Com isso,

∫ x c d V = ∫ R 2 R x π ( R 2 - x 2 ) d x  

Logo,

∫ x c d V = π R 2 x 2 2 - x 4 4 R R 2 = π R 4 2 - R 4 4 - R 4 8 - R 4 64

∫ x c d V = 9 64 π R 4

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

x - = ∫ x c d V V = 9 64 π R 4 5 24 π R 3 = 27 40 R

Resposta

x - = 27 40 R  

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Localize o centroide y ¯ da área sombreada. Resolva o problema calculando as integrais por meio da regra de Simpson.
Determine a distância y ¯ até o centro de gravidade do elemento homogêneo.
Localize o centroide x ¯ da área sombreada.
Localize o centroide x ¯ da área sombreada. Resolva o problema calculando as integrais por meio da regra de Simpson.
Localize o centroide x ¯ ,y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.