Enunciado

Uma corda uniforme é suspensa entre dois pontos com a mesma elevação. Determine a razão entre a flecha e o vão, de modo que a tração máxima na corda seja igual ao peso total da corda.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Aqui temos uma corda com carregamento uniforme w s = w 0 suspensa entre dois pontos. O nosso objetivo é determinar a razão entre a flecha (altura h ) e o vão (comprimento L ), como podemos ver no esboço abaixo:

Como esta é uma corda que cujas equações foram desenvolvidas nos exercícios anteriores (inclusive até no Exemplo 7.13), então, vamos utilizar diretamente as equações.

Então, vamos para as contas!

Passo 2

O nosso objetivo é determinar a razão flecha e o vão h L . Então, para que a gente calcule a altura da flecha, temos a seguinte equação:

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - 1

Mas que a gente não sabe nada ainda.

Continuando, a questão também nos diz que a razão é tal que a tração máxima no cabo é igual ao peso! Opa, temos uma informação muito importante aqui!

Relembrando, a tração máxima é dada por:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x

Este ângulo θ m á x ocorre no ângulo de maior inclinação (maior valor d y / d x ), e que neste caso ocorre nas extremidades, em x = ± L / 2 . Como d y d x = senh ⁡ w 0 F H x , temos:

d y d x x = L / 2 = tan ⁡ θ m á x = senh ⁡ w 0 L 2 F H

Ao utilizarmos relações trigonométricas conseguimos passar de tan ⁡ θ m á x para cos ⁡ θ m á x , como vemos abaixo:

cos ⁡ θ m á x = 1 1 + tan ⁡ θ m á x 2 = 1 1 + senh ⁡ w 0 L 2 F H 2 1 cosh ⁡ w 0 L 2 F H 2 = 1 cosh ⁡ w 0 L 2 F H

Continuando, como a tração deve ser igual ao peso, temos:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x = w 0 ⋅ 2 s = P e s o

F H cosh ⁡ w 0 L 2 F H = 2 w o s

F H cosh ⁡ w 0 L 2 F H = 2 w o F H w 0 senh ⁡ w 0 L 2 F H

tanh ⁡ w 0 L 2 F H = senh ⁡ w 0 L 2 F H cosh ⁡ w 0 L 2 F H = 1 2

w 0 L 2 F H = arctanh ⁡ 0,5 = 0,5493

E assim a gente para de trabalhar com a restrição da tração!

Passo 3

Agora que a gente terminou a parte da tração igual ao peso e conseguimos obter quem é w 0 L 2 F H , basta trabalharmos com a equação da flecha!

Como queremos descobrir a altura h , basta substituir x = L / 2 na equação da flecha y = f x e verificar o valor final. Portanto,

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - 1

h = F H w 0 cosh ⁡ w 0 L 2 F H - 1

OBS: Como w 0 L 2 F H = 0,5493 , então F H w 0 = L 2 ⋅ 0,5493

h = L 2 ⋅ 0,5493 cosh ⁡ 0,5493 - 1

h L = 0,141

E assim finalizamos a questão!

Resposta

h L = 0,141

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