Enunciado

O cabo A B está sujeito a uma carga uniforme de 200 N/m. Se o peso do cabo for desconsiderado e os ângulos de inclinação nos pontos A e B forem 30 ° e 60 ° , respectivamente, determine a curva que define a forma do cabo e a tração máxima desenvolvida nele.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar a curva y = f x que define a forma do cabo e a tração máxima desenvolvida nele.

Bom, mesmo que nosso objetivo fosse desenvolver a tração máxima apenas, nós teríamos que encontrar a curva y = f x . Então, aqui estamos no lucro.

Então, vamos começar determinando a equação da curva que define o cabo. E para isto, temos que resolver a seguinte integral:

y = 1 F H ∫ ∫ w x d x d x

Sendo w x o carregamento aplicado na corda. Nesta questão, a corda está submetida a um carregamento uniforme dado por w x = w 0 = 2 00   N / m . Portanto, a nossa equação será:

y = 1 F H ∫ ∫ 2 00   d x d x

y = 1 F H ∫ 2 00 x + C 1 d x

y = 1 F H 1 00 x 2 + C 1 x + C 2

Sendo F H expresso em N .

Passo 2

Agora que obtivemos a equação da curvatura da corda, devemos aplicar as condições de contorno para descobrir as incógnitas C 1 , C 2 e F H .

Para a geometria da questão, temos as seguintes condições de contorno: y 0 = 0 , d y d x x = 0 = tan ⁡ 3 0 ° = 0 , 5773 e d y d x x = 15 = tan ⁡ 6 0 ° = 1,732 . Aplicando a primeira, temos:

y 0 = 1 F H 1 00 ⋅ 0 2 + C 1 ⋅ 0 + C 2 = C 2 F H = 0 ⟹ C 2 = 0

Já aplicando a segunda, obtemos:

d y d x x = 0 = 1 F H 2 00 ⋅ 0 + C 1 = C 1 F H = 0 , 5773 ⟹ C 1 = 0 , 5773 F H

E por fim, aplicando a terceira condição, temos:

d y d x x = 15 = 1 F H 200 ⋅ 15 + 0,5773 F H = 1,732

3000 + 0,5773 F H = 1,732 F H

F H = 2598   N

Portanto, a equação da corda será:

y x = 38,5 x 2 + 577,3 ⋅ 10 - 3

Passo 3

Para finalizarmos a questão, basta descobrirmos a tração máxima na corda. Esta tração ocorrerá no ponto de maior inclinação. Isto é, o ponto em que d y / d x for máximo.

E neste caso, a inclinação será máxima no ponto B , cujo valor foi dado pela questão e é igual a θ = 60 ° .

Sendo assim, a tração máxima será:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x = 2598   N cos ⁡ 6 0 ° = 5196   N = 5,2   k N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

y x = 38,5 x 2 + 577,3 ⋅ 10 - 3

T m á x = 5,2   k N

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