Enunciado

A correia sem fim de uma escada rolante passa em volta do tambor esticador A e é movimentada por um torque M aplicado ao tambor B . A força trativa na correia é ajustada por um esticador em C , que produz uma força trativa inicial de 4,5 kN em cada lado da correia, quando a escada está sem carga. Para o projeto desse sistema, calcule o coeficiente de atrito mínimo μ entre o tambor B e a correia para impedir o deslizamento se a escada transporta 30 pessoas, com 70 kg em média cada uma, uniformemente distribuídas ao longo da correia. (Nota: Pode-se mostrar que o aumento da força trativa na correia no lado superior do tamnor B e a redução da força trativa na correia no tambor inferior A são, cada, iguais à metade da componente do peso combinado dos passageiros ao longo da escada.)

Passo 1

Como não há deslizamento entre a correia e o tambor, é válida a fórmula para o equilíbrio de uma corda enrolada em torno de uma superfície, dada a seguir:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da corda e β o ângulo total de enrolamento no tambor, no caso igual a π , o ângulo de meia volta. Em cima, temos a tração de 4,5 kN mais metade da tração adicional causada pelo peso das pessoas. Em baixo, temos a tração de 4,5 kN menos metade da tração adicional causada pelo peso das pessoas.

Passo 2

Primeiro vamos definir os valores das trações T 1 e T 2 . Temos 30 pessoas, então o peso total combinado é:

W = 30 m g = 30 × 70 × 9,81 = 20600   N

O ângulo θ de inclinação da escada é:

θ = arctg ⁡ 6 15 = arctg ⁡ 0,4 = 21,8 °

Então a componente do peso paralelo à escada é:

W x = W sen ⁡ θ = 20600 sen ⁡ 21,8 ° = 7650   N

Assim, achamos T 1 e T 2 , subtraindo e somando metade desse valor a 4,5 kN:

T 1 = 4500 - 7650 2 = 675   N

T 2 = 4500 + 7650 2 = 8325   N

Passo 3

Agora aplicaremos a fórmula:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

⇒ ln ⁡ 8325 675 = π μ

⇒ μ = ln ⁡ 12,33 π

⇒ μ = 0,8

Resposta

μ = 0,8

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