Enunciado

A corrente de 80 m de extensão é fixada em suas extremidades e içada em seu ponto intermediário B por um guindaste. Se a corrente tem peso de 0,5   k N / m , determine a altura mínima h do gancho a fim de levantar a corrente completamente para fora do solo. Qual é a força horizontal no pino A ou C quando a corrente está nessa posição? Dica: quando h é mínimo, a inclinação em A e C é zero.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar a altura mínima h do gancho a fim de levantar uma corrente de peso igual a 0,5   k N / m . Sabemos que a flecha mínima ocorrerá quando a tração no cabo for a máxima.

Depois disto, vamos ter que determinar a força horizontal no pino A ou C , que é exatamente o valor F H que calcularemos ao decorrer da questão!

Bom, para que a gente possa determinar ambas as incógnitas, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, como o cabo está sujeito ao próprio peso, temos que começar resolvendo a seguinte integral:

x = ∫ d s 1 + 1 F H 2 ∫ w s d s 1 / 2

Sendo w s = w 0 = 0,5   k N / m o carregamento aplicado na corrente. Para nossa alegria, já sabemos que o resultado da integração acima é:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s + C 1 + C 2

Passo 2

Agora temos que descobrir quem as constantes da nossa equação. Para isto, teremos que aplicar as condições de contorno do problema.

Fixando o sistema de coordenadas no ponto B , teremos as seguintes condições: s = 0 em x = 0 e d y d x s = 0 = 0 . Só que possamos aplicar estas condições, temos que manipular as nossas relações

Vamos começar aplicando d y d x s = 0 = 0 . Para isto, precisamos lembrar que:

d y d x = 1 F H ∫ w s d s

d y d x = 1 F H ∫ w 0 d s = 1 F H w 0 s + C 1

Sendo esse C 1 o mesmo da equação que obtivemos no Passo 1. Então, aplicando a condição, temos:

d y d x s = 0 = 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 1 = 0 ⟹ C 1 = 0

Aplicando a condição que s = 0 quando x = 0 , temos:

0 = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 ⋅ 0 + C 2 ⟹ C 2 = 0

E assim chegamos à relação:

x = F H w 0 senh - 1 ⁡ 1 F H w 0 s

Passo 3

Após obtermos a equação que relaciona x com s , já temos informação suficiente para que calculemos a força horizontal nos pontos A e C , que é a força F H .

Para que assim o façamos, basta analisarmos a geometria da questão para obter a condição que devemos utilizar.

Como a corrente possui 80 m. Pela sua simetria, temos 40 m para um lado, e 40 m para o outro. Portanto, quando s = 40   m , temos x = 30   m . Aplicando esta condição na equação obtida no Passo 2, teremos:

30 = F H 0,5 senh - 1 ⁡ 1 F H 0,5 ⋅ 40

30 = F H 0,5 senh - 1 ⁡ 20 F H

Resolvendo iterativamente nós obtemos que F H = 11,1   k N . E assim descobrimos a primeira resposta da questão!

Passo 4

Agora podemos continuar para obtermos quem é a altura h mínima.

Para isto, temos que obter uma equação y = f x . Lembrando do Passo 2, temos:

d y d x = w 0 s F H

Só que s = F H w 0 senh ⁡ w 0 F H x . Logo,

d y d x = senh ⁡ w 0 F H x ⟹ y = ∫ senh ⁡ w 0 F H x d x

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x + C 3

Para que possamos calcular quem é y quando x = 30   m (o valor de h ), temos antes que descobrir C 3 . E para isto, basta aplicarmos a condição de que y = 0 quando x = 0 . Logo,

0 = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H ⋅ 0 + C 3

C 3 = - F H w 0

E por fim, a altura mínima será:

y = F H w 0 cosh ⁡ w 0 F H x - F H w 0

h = 11,1 0,5 cosh ⁡ 0,5 11 ⋅ 30 - 11,1 0,5

h = 23,5   m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F A = F C = F H = 11,1   k N

h = 23,5   m

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