Enunciado

Se a inclinação do cabo no apoio A é zero, determine a curva de deflexão y = f x do cabo e a tração máxima desenvolvida nele.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar a curva de deflexão y = f x e a máxima tração desenvolvida no cabo.

A vantagem é que, para podermos determinar a máxima tração, é extremamente necessário que determinemos a curva y = f x ! Então, estamos no lucro!

Então, vamos lá! Para determinarmos a curva de deflexão, temos que resolver a seguinte integral:

y = 1 F H ∫ ∫ w x d x d x

Sendo w x o carregamento aplicado na corda. Como w x = 4 cos ⁡ π 24 x , então a nossa equação será:

y = 1 F H ∫ ∫ 4 cos ⁡ π 24 x d x d x

y = 1 F H ∫ 96 π sen ⁡ π 24 x + C 1 d x

y = 1 F H - 2304 π 2 cos ⁡ π 24 x + C 1 x + C 2

Passo 2

Agora que obtivemos a equação da curvatura da corda, devemos aplicar as condições de contorno para descobrir as incógnitas C 1 , C 2 e F H .

Para a geometria da questão, temos as seguintes condições de contorno: y 0 = 0 , d y d x x = 0 = 0 e y 12 = 4,5 .

Agora só nos resta aplicarmos as condições de contorno. Começando pela primeira, temos:

y 0 = 1 F H - 2304 π 2 cos ⁡ π 24 ⋅ 0 + C 1 ⋅ 0 + C 2 = 1 F H - 2304 π 2 + C 2 = 0 ⟹ C 2 = 2304 π 2

Já aplicando a segunda, obtemos:

d y d x x = 0 = 1 F H 96 π sen ⁡ π 24 ⋅ 0 + C 1 = C 1 F H = 0 ⟹ C 1 = 0

Por fim, aplicando a terceira condição, temos:

4,5 = 1 F H - 2304 π 2 cos ⁡ π 24 12 + 2304 π 2 ⟹ F H = 2304 4,5 π 2 = 51,87 k N

Portanto, a equação da corda é:

y x = 4,5 π 2 2304 - 2304 π 2 cos ⁡ π 24 x + 2304 π 2

y x = 4,5 1 - cos ⁡ π 24 x

E assim resolvemos a primeira parte da questão!

Passo 3

Para finalizarmos a questão, basta descobrirmos a tração máxima na corda. Esta tração ocorrerá no ponto de maior inclinação. Isto é, o ponto em que d y / d x for máximo.

Para esta questão, como d y d x = 4,5 π 24 sen ⁡ π 24 x , então, a inclinação será máxima na extremidade em x = 12   m . Calculando o ângulo de inclinação, teremos:

θ m á x = arctan ⁡ d y d x x = 1 2 = arctan ⁡ 4,5 π 24 = 30,5 °

Por fim, a tração máxima será:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x = 2304 4,5 π 2 cos ⁡ 30,5 ° = 60,2   k N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

y x = 4,5 1 - cos ⁡ π 24 x

T m á x = 60,2   k N

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