Enunciado

Uma corrente é enrolada em torno de duas engrenagens de 40   m m de raio, que podem girar livremente em relação ao braço A B , de 320   m m . A corrente move-se em torno do braço AB no sentido horário a uma taxa constante de 80   m m / s relativamente ao braço. Sabendo que, na posição mostrada na figura, o braço AB gira no sentido horário em torno de A a uma taxa constante ω = 0,75   r a d / s , determine a aceleração de cada um dos elos indicados da corrente. Elos 1 e 2.

Passo 1

Bora pra questão 168 agora, meus caros (as)!

Bom! Temos que determinar a aceleração de cada um dos elos indicados da corrente! No caso, pra essa questão, os elos 1 e 2 .

O braço A B gira no sentido horário em torno de A a uma taxa constante ω = 0,75   r a d / s ... Logo, temos que...

Ω = 0,75   r a d / s   ⤾

Ω = - ( 0,75   r a d / s )   k ^

Agora, vamos fazer um esboço dos vetores posição do nosso sistema, posicionando também os eixos de referência...

E também não podemos esquecer, é claro, da distribuição de velocidades...

Passo 2

Para o elo 1 , temos que...

r → 1 = - ( 40   m m ) i ^

E a velocidade de 1 em relação à A B , é dada por...

v 1 / A B = u   ↑   = ( 80   m m / s )

v 1 / A B = ( 80   m m / s )   j ^

Passo 3

Pois muito bem! A aceleração no elo 1 , é dada pela seguinte fórmula.

a → 1 = a → 1 ' + a → 1 / A B   + 2 Ω → × v → 1 / A B  

Memoriza ela, porque a estrutura dela vale pra qualquer ponto da corrente! Agora se liga! A gente tem que a 1 ' vai ser dado por...

a → 1 ' = - Ω 2 r → 1

a → 1 ' = - 0,75   r a d / s 2 [ - ( 40   m m ) i ^ ]

a → 1 ' = ( 22,5   m m / s 2 )   i ^

a 1 / A B   , que é a aceleração radial, pode ser obtido com a seguinte fórmula...

a → 1 / A B   = u 2 r   i ^

Em que r é o raio das duas engrenagens, de 40   m m . Logo;

a → 1 / A B   = u 2 r i ^

a → 1 / A B   = ( 80   m m / s ) 2 40   m m   i ^

a → 1 / A B   = ( 160   m m / s 2 )   i ^

Por último, só tá faltando obter 2 Ω × v 1 / A B   ...

2 Ω → × v → 1 / A B   = 2 [ - ( 0,75   r a d / s )   k ^ ] × [ ( 80   m m / s )   j ^ ]

2 Ω → × v → 1 / A B   = ( 120   m m / s 2 )   i ^

E então, podemos conseguir a aceleração do elo 1 ...

a → 1 = a → 1 ' + a → 1 / A B   + 2 Ω → × v → 1 / A B  

a → 1 = ( 22,5   m m / s 2 )   i ^ + ( 160   m m / s 2 )   i ^ + ( 120   m m / s 2 )   i ^

a → 1 = ( 302,5   m m / s 2 )   i ^

Em módulo e ângulo de direção , temos que...

a 1 = 302,5   m m / s 2   →

Passo 4

Para o elo 2 , por sua vez, o vetor posição vai ser...

r → 2 = 160   m m i ^ + 40   m m j ^

E nesse ponto, o vetor velocidade vai ficar assim...

v → 2 / A B = u   → = ( 22,5   m m / s )

v → 2 / A B = ( 80   m m / s )   i ^

E a fórmula pra a 2 ... Essa já tá manjada!

a → 2 = a → 2 ' + a → 2 / A B   + 2 Ω → × v → 2 / A B  

Por isso, primeiro vamos obter a 2 ' , que é dada por...

a 2 ' = - Ω 2 r → 2

a 2 ' = - 0,75   r a d / s 2 [ 160   m m i ^ + 40   m m j ^ ]

a 2 ' = ( - 90   m m / s 2 ) i ^ - ( 22,5   m m / s 2 ) j ^

Quanto à a 2 / A B   . Como não tem engrenagem em 2 , então não há aceleração radial...

a 2 / A B   = 0

E finalmente, só ficou faltando o 2 Ω × v 2 / A B   :

2 Ω × v 2 / A B   = 2 [ - ( 0,75   r a d / s )   k ^ ] × [ ( 80   m m / s )   i ^ ]

2 Ω × v 2 / A B   = - ( 120   m m / s 2 )   j ^

Substituindo assim, os valores numéricos...

a → 2 = a → 2 ' + a → 2 / A B   + 2 Ω → × v → 2 / A B  

a → 2 = ( - 90   m m / s 2 ) i ^ - ( 22,5   m m / s 2 ) j ^ - ( 120   m m / s 2 )   j ^

a → 2 = ( - 90   m m / s 2 ) i ^ - ( 142,5   m m / s 2 ) j ^

Obtemos a 2 ! Escrevendo em módulo e ângulo de direção...

a 2 = - 90   m m / s 2 2 + - 142,5   m m / s 2 2 ∠ tan - 1 ⁡ - 142,5   m m / s 2 - 90   m m / s 2

a 2 = 168,5   m m / s 2   ⦫ 57,7 °

Resposta

E l o   1 :   a 1 = 302,5   m m / s 2   →

E l o   2 :   a 2 = 168,5   m m / s 2   ⦫ 57,7 °

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