Enunciado

Uma corrente é enrolada em torno de duas engrenagens de 40   m m de raio, que podem girar livremente em relação ao braço A B , de 320   m m . A corrente move-se em torno do braço AB no sentido horário a uma taxa constante de 80   m m / s relativamente ao braço. Sabendo que, na posição mostrada na figura, o braço AB gira no sentido horário em torno de A a uma taxa constante ω = 0,75   r a d / s , determine a aceleração de cada um dos elos indicados da corrente. Elos 3 e 4

Passo 1

Bora pra questão 169 agora, meus caros (as)!

Bom! Temos que determinar a aceleração de cada um dos elos indicados da corrente! No caso, pra essa questão, os elos 3 e 4 .

O braço A B gira no sentido horário em torno de A a uma taxa constante ω = 0,75   r a d / s ... Logo, temos que...

Ω = 0,75   r a d / s   ⤾

Ω = - ( 0,75   r a d / s )   k ^

Agora, vamos fazer um esboço dos vetores posição do nosso sistema, posicionando também os eixos de referência...

E também não podemos esquecer, é claro, da distribuição de velocidades...

Passo 2

Para o elo 3 , temos que...

r → 3 = ( 360   m m ) i ^

E a velocidade de 3 em relação à A B , é dada por...

v 3 / A B = u   ↓   = - ( 80   m m / s )   j ^

v 3 / A B = - ( 80   m m / s )   j ^

Passo 3

Pois muito bem! A aceleração no elo 3 , é dada pela seguinte fórmula.

a → 3 = a → 3 ' + a → 3 / A B   + 2 Ω → × v → 3 / A B  

Memoriza ela, porque a estrutura dela vale pra qualquer ponto da corrente! Agora se liga! A gente tem que a 1 ' vai ser dado por...

a → 3 ' = - Ω 2 r → 3

a → 3 ' = - 0,75   r a d / s 2 ⋅ [ - ( 360   m m ) i ^ ]

a → 3 ' = - ( 202,5   m m / s 2 )   i ^

a 3 / A B   , que é a aceleração radial, pode ser obtido com a seguinte fórmula...

a → 3 / A B   = - u 2 r   i ^

Em que r é o raio das duas engrenagens, de 40   m m . Logo;

a → 3 / A B   = - u 2 r i ^

a → 3 / A B   = - ( 80   m m / s ) 2 40   m m   i ^

a → 3 / A B   = - ( 160   m m / s 2 )   i ^

Por último, só tá faltando obter 2 Ω × v 3 / A B   ...

2 Ω → × v → 3 / A B   = 2 [ ( - 0,75   r a d / s )   k ^ ] × [ - ( 80   m m / s )   j ^ ]

2 Ω → × v → 3 / A B   = - ( 120   m m / s 2 )   i ^

E então, podemos conseguir a aceleração do elo 1 ...

a → 3 = a → 3 ' + a → 3 / A B   + 2 Ω → × v → 3 / A B  

a → 3 = - ( 202,5   m m / s 2 )   i ^ - ( 160   m m / s 2 )   i ^ - ( 120   m m / s 2 )   i ^

a → 3 = - ( 482,5   m m / s 2 )   i ^

Em módulo e ângulo de direção, temos que...

a 3 = 482,5   m m / s 2   ←

Passo 4

Para o elo 4 , por sua vez, o vetor posição vai ser...

r → 4 = 160   m m i ^ - 40   m m j ^

E nesse ponto, o vetor velocidade vai ficar assim...

v → 4 / A B = u ← = - ( 80   m m / s ) i ^

v → 4 / A B = - ( 80   m m / s )   i ^

E a fórmula pra a 4 ... Essa já tá manjada!

a → 4 = a → 4 ' + a → 4 / A B   + 2 Ω → × v → 4 / A B  

Por isso, primeiro vamos obter a 4 ' , que é dada por...

a 4 ' = - Ω 2 r → 4

a 4 ' = - 0,75   r a d / s 2 ⋅ [ 160   m m i ^ - 40   m m j ^ ]

a 2 ' = ( - 90   m m / s 2 ) i ^ + ( 22,5   m m / s 2 ) j ^

Quanto à a 4 / A B   . Como não tem engrenagem em 4 , então não há aceleração radial...

a 4 / A B   = 0

E finalmente, só ficou faltando o 2 Ω × v 4 / A B   :

2 Ω × v 4 / A B   = 2 [ - ( 0,75   r a d / s )   k ^ ] × [ - ( 80   m m / s )   i ^ ]

2 Ω × v 2 / A B   = ( 120   m m / s 2 )   j ^

Substituindo assim, os valores numéricos...

a → 4 = a → 4 ' + a → 4 / A B   + 2 Ω → × v → 4 / A B  

a → 4 = ( - 90   m m / s 2 ) i ^ + ( 22,5   m m / s 2 ) j ^ + ( 120   m m / s 2 )   j ^

a → 4 = ( - 90   m m / s 2 ) i ^ + ( 142,5   m m / s 2 ) j ^

Obtemos a 4 ! Escrevendo em módulo e ângulo de direção...

a 4 = - 90   m m / s 2 2 + 142,5   m m / s 2 2 ∠ tan - 1 ⁡ 142,5   m m / s 2 - 90   m m / s 2

a 4 = 168,5   m m / s 2   ⦩ 57,7 °

Resposta

E l o   3 :   a 3 = 482,5   m m / s 2   →

E l o   4 :   a 4 = 168,5   m m / s 2   ⦩ 57,7 °

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