Enunciado

O cursor de 0,6   k g é liberado a partir do repouso em A e desliza para baixo na guia parabólica lisa (que está localizada em um plano vertical) sob a influência do seu próprio peso e da mola de constante 120   N / m . Determine a velocidade do cursor quando este passa o ponto B e a força normal correspondente exercida pela guia sobre este. O comprimento sem deformação da mola é 200   m m .

Passo 1

Vamos dizer que a energia potencial é nula na altura do ponto B . Pela lei de conservação de energia temos:

T A + U A = T B + U B

Onde a energia potencial é a soma da gravitacional e da elástica:

T A + G A + E A = T B + G B + E B

T A = 0

G A = m g h = 0,6 9,81 0,5 = 2,943   J

E para calcular a energia elástica precisamos fazer a diferença entre o comprimento da mola nessa posição e o comprimento relaxado:

E A = 1 2 k x 2 = 1 2 120 0,25 2 + 0,5 2 - 0,2 2 = 7,734   J

T B + G B + E B = 10,677   J

Agora vamos analisar a posição B .

Passo 2

Agora vamos analisar as energias do ponto B :

T B + G B + E B = 10,677   J

G B = 0

E B = 1 2 k 0,25 - 0,2 2 = 1 2 120 2,5.10 - 3 = 0,15   J

T B = 1 2 0,6 v B 2

1 2 ( 0,6 ) v B 2 = 10,527

v B = 5,92   m / s

Passo 3

E agora vamos calcular a força normal no ponto mais baixo da trajetória. Vamos analisar a soma das forças voltadas para cima no ponto mais baixo:

∑ F n = N + F e - P = m v B 2 r

N + k 0,25 - 0,2 - m g = N + 6 - 5,886 = N + 0,114

E então:

N + 0,114 = m v B 2 r

Precisamos descobrir o raio de curvatura da trajetória. A fórmula de que precisamos é a seguinte:

R = 1 + y ' 2 3 2 y ' '

Isso quer dizer que precisamos achar uma função que descreva aquela parábola. Se colocarmos a origem sobre o ponto B , a função terá a seguinte forma:

y = k x 2

E podemos pegar um ponto qualquer da parábola para determinar o valor de k :

0,5 = k 0,5 2       ⇒       k = 2

E então:

y = 2 x 2

Agora podemos calcular o raio de curvatura:

R = 1 + y ' 2 3 2 y ' ' = 1 + 16 x 2 3 2 4

Como o ponto em que estamos interessados é o ponto B (a origem do nosso sistema), o raio é:

R = 1 4

E substituindo na equação para a normal:

N = ( 0,6 ) 5,92 2 ( 1 / 4 ) - 0,114

N = 84,0   N

Resposta

A velocidade no ponto B é v B = 5,92   m / s e a força normal no ponto mais baixo da trajetória é N = 84,0   N .

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