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O cursor de 25   k g na posição mostrada tem uma velocidade inicial v 0 = 0,6   m / s sobre o trilho inclinado e desliza sob a influência da gravidade e do atrito. O coeficiente de atrito dinâmico entre o cursor e o trilho é de 0,5 . Calcule a velocidade do cursor quando este passa a posição para a qual a mola está comprimida de uma distância x = 100   m m . A mola oferece uma resistência à compressão C e é conhecida como uma mola com “endurecimento”, uma vez que sua rigidez aumenta com a deflexão como mostrado no gráfico anexo.

Passo 1

Temporariamente, vamos desconsiderar a força devida à mola. Então, o diagrama de forças que agem no bloco seria similar ao de um plano inclinado:

Na direção y perpendicular à superfície, a componente do peso e a normal se equilibram:

N = P y = m g cos ⁡ θ

Na direção x paralela à superfície, a outra componente do peso e a força de atrito atuam, de modo que a força resultante F (desconsiderando força elástica) é:

F = P x - F a t

F = m g   s e n   θ - μ k N

F = m g   s e n   θ - μ k m g cos ⁡ θ

F = m g s e n   θ - μ k cos ⁡ θ

F = 25 9,81 s e n   60 ° - 0,5 cos ⁡ 60 °

F = 151   N

Passo 2

A força F que calculamos é uma força constante, e portanto o trabalho realizado por ela será:

U F = F d + x = 151 1 + 0,100

U F = 166   J

Porém, a força F M devida à mola não é constante, de modo que seu trabalho é:

U M = - ∫ x 1 x 2 F M d x

U M = - ∫ 0 0,100 62 x 2 + 18 x 10 3 d x

U M = - 10 3 62 3 x 3 + 9 x 2 0 0,100

U M = - 10 3 62 3 0,100 3 + 9 0,100 2

U M = - 1 11   J

Portanto, o trabalho total realizado sobre o cursor é:

U = U F + U M = 166 - 1 11

U = 55   J

Passo 3

Lembrando que o trabalho total realizado sobre o cursor é igual à sua variação de energia cinética, temos:

Δ T = U

m v 2 2 - m v 0 2 2 = U

25 v 2 2 - 25 0,6 2 2 = 55

25 v 2 2 = 59,5

v = 2,2   m / s

Resposta

v = 2,2   m / s

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