Enunciado

Os cursores nas extremidades da haste telescópica AB deslizam ao longo dos eixos fixos mostrados. Durante um intervalo de movimento, v A = 125 m m / s e v B = 50 m m / s . Determine a expressão vetorial para a velocidade angular ω n da linha de centro da haste para a posição em que y A = 100 m e y B = 50   m m .

Passo 1

Para resolvermos este problema, precisaremos encontrar a velocidade relativa entre os dois pontos e o comprimento da haste que conecta os dois pontos, como dá para perceber, eles não permanecerão paralelos o tempo todo, pois a velocidade do ponto A é maior que a velocidade do ponto B, e portanto a haste irá formar um ângulo em relação ao plano xz.

Vamos primeiro expressar a velocidade relativa:

v A → = v → A / B + v B →

v → A / B = ( 125 m m / s - 50 m m / s ) j ^ = ( 75 m m / s ) j ^

E a distância entre os pontos será (quando ambos estiverem paralelos entre si, e não após o deslocamento dado no enunciado):

r A / B = 75 m m 2 + 150 m m 2 = 167.7 m m

Passo 2

Para calcularmos o a velocidade angular, sabemos que precisaremos encontrar a normal do segmento AB, vamos utilizar o ângulo formado entre os pontos A e B que consideramos no Passo1 e chamá-lo de γ , o produto cosseno desse ângulo com a velocidade nos dará a intensidade da velocidade na direção normal ao segmento AB

v → A B n o r m a l = 75 m m / s c o s γ

Sendo que c o s γ será a relação entre a situação onde A e B estão paralelos e a situação descrita no enunciado, com os valores das posições dados de cada ponto:

c o s γ = r A / B   75 m m 2 + 150 m m 2 + ( y A - y B ) 2 = 167.7 m m 75 m m 2 + 150 m m 2 + ( 100 m m - 50 m m ) 2

c o s γ = 0.96

E a componente normal da velocidade relativa:

v → A B n o r m a l = 72 m m / s

Passo 3

Agora podemos calcular a magnitude da velocidade angular:

ω n = v → A B n o r m a l 75 m m 2 + 150 m m 2 + 100 m m - 50 m m 2   = 0.41 r a d / s

Passo 4

Por fim, vamos calcular o vetor ω n → , utilizando um ângulo θ formado entre a coordenada x e o vetor de ω n . Como ω n não possui componente y, já que é perpendicular às velocidades de A e de B:

ω n → = ω n ( c o s θ i ^ + s e n θ k ^ )

ω n → = 0.41 r a d / s 75 m m 167.7 m m i ^ + 150 m m 167.7 m m k ^

ω n → = 0.18 r a d / s i ^ + 0.37 r a d / s k ^

Resposta

ω n → = 0.18 r a d / s i ^ + 0.37 r a d / s k ^

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