Enunciado

As deformações específicas determinadas pelo uso da roseta ao lado durante o teste de um elemento de máquina são

ϵ 1 = + 600   μ                       ϵ 2 = + 450   μ                       ϵ 3 = - 75   μ

Determine (a) as deformações específicas principais no plano das deformações e (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o conjunto de equações 7.60, dado por:

ϵ 1 = ϵ x cos 2 ⁡ θ 1 + ϵ y s e n 2   θ 1 + γ x y s e n   θ 1 cos ⁡ θ 1

ϵ 2 = ϵ x cos 2 ⁡ θ 2 + ϵ y s e n 2   θ 2 + γ x y s e n   θ 2 cos ⁡ θ 2

ϵ 3 = ϵ x cos 2 ⁡ θ 3 + ϵ y s e n 2 θ y + γ x y s e n   θ 3 cos ⁡ θ 3

Vamos substituir os valores conhecidos para cada um dos 3 casos descritos, chegando num sistema de equações, depois disso temos que resolver o sistema. Com o sistema resolvido fica fácil, temos as deformações para calcular a deformação média e o raio do círculo de Mohr, com essas informações conseguimos calcular as deformações principais. E, depois, para a letra (b), sabemos que a deformação máxima no plano será o diâmetro do círculo de Mohr. Então bora lá.

Passo 2

Tá legal! Vamos começar escrevendo os ângulos θ que nós temos:

θ 1 = 30 °

θ 2 = 150 °

θ 3 = 90 °

Então beleza! Vamos substituir os valores conhecidos na primeira equação, chegando em:

600 = ϵ x cos 2 ⁡ ( 30 ° ) + ϵ y s e n 2 30 ° + γ x y s e n 30 ° c o s ⁡ ( 30 ° )

600 = 0,75 ϵ x + 0,25 ϵ y + 0,433 γ x y

Essa será nossa equação 1. Agora vamos substituir os valores conhecidos na segunda equação, chegando em:

450 = ϵ x cos 2 ⁡ ( 150 ° ) + ϵ y s e n 2 150 ° + γ x y s e n 150 ° c o s ⁡ ( 150 ° )

450 = 0,75 ϵ x + 0,25 ϵ y - 0,433 γ x y

Essa será nossa equação 2. E agora, substituindo os valores conhecidos na terceira equação, chegamos em:

- 75 = ϵ x cos 2 ⁡ ( 90 ° ) + ϵ y s e n 2 90 ° + γ x y s e n 90 ° c o s ⁡ ( 90 ° )

- 75 = 0 ϵ x + ϵ y + 0 γ x y → ϵ y = - 75   μ

Opa! Já conseguimos o valor de ϵ y

Passo 3

Agora nós vamos somar as equações 1 e 2 que obtemos no passo 2, chegando em:

600 = 0,75 ϵ x + 0,25 ϵ y + 0,433 γ x y

+

450 = 0,75 ϵ x + 0,25 ϵ y - 0,433 γ x y

=

1050 = 1,5 ϵ x + 0,5 ϵ y

Substituindo o valor de ϵ y obtido no passo 2, conseguimos obter o valor de ϵ x :

1050 = 1,5 ϵ x + 0,5 - 75 → ϵ x = 725   μ

E, substituindo esse valor e o valor para ϵ y na equação 1, podemos encontrar o valor de γ x y , que será:

600 = 0,75 ϵ x + 0,25 ϵ y + 0,433 γ x y

600 = 0,75 725 + 0,25 - 75 + 0,433 γ x y → γ x y = 173,21   μ

Beleza, com as deformações no plano, podemos calcular a deformação média, que será:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2 = 725 + - 75 2 → ϵ m e d = 325   μ

E agora, podemos calcular o raio do círculo de Mohr, que é dado por:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2 = 725 - - 75 2 2 + 173,21 2 2

R = 409,3   μ

Então, agora podemos calcular as deformações principais pedidas na letra (a), que serão:

ϵ a = ϵ m e d + R = 325 + 409,3 → ϵ a = 734,3   μ

ϵ b = ϵ m e d - R = 325 - 409,3 → ϵ b = - 84,3   μ

Passo 4

Agora, para a letra (b), sabendo que a deformação de cisalhamento máxima no plano será o diâmetro do círculo de Mohr, ou seja:

γ m a x , P = 2 R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

γ m a x , P = 2 409,3 → γ m a x , P = 818,6   μ

Shooow! Fechamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

a :   ϵ a = 734,3   μ ;   ϵ b = - 84,3   μ

b :   γ m a x , P = 818,6   μ

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