Enunciado

Mostre que a soma das três medidas de deformação feitas com uma roseta de 60° é independente da orientação da roseta e igual a

ϵ 1 + ϵ 2 + ϵ 3 = 3 ϵ m e d

Em que ϵ m e d é a abscissa do centro do círculo de Mohr correspondente.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação 7.44 vista nesse capítulo, que nos dá a deformação ao longo de um eixo x ' qualquer, dada por:

ϵ x ' = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ + γ x y 2 s e n   2 θ

E vamos utilizar essa relação nas 3 direções, lembrando que aqui estamos lidando com deslocamentos no círculo de Mohr, então para cada 60° de rotação na roseta, temos 120° no círculo. Fazendo isso, chegaremos em expressões para as direções 1, 2 e 3, depois disso é só substituir as expressões e simplificar para chegar na relação dada no enunciado. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Antes de começar, vamos só escrever a tensão média, que será dada por:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2

Ok!! Agora, vamos escrever a deformação na direção 1, que está a um ângulo θ da referência, utilizando a equação vista no passo 1. Então teremos:

ϵ x ' = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ + γ x y 2 s e n   2 θ

Substituindo a expressão para a deformação média, chegamos em:

ϵ 1 = ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ + γ x y 2 s e n   2 θ

Beleza! Vamos guardar essa expressão aqui por enquanto. Agora vamos escrever a deformação na direção 2, que está a uma rotação de θ + 60 ° da referência, então teremos:

ϵ 2 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ + 120 ° + γ x y 2 s e n   2 θ + 120 °

Agora, vamos substituir a expressão para a deformação média e abrir as somas de arco, então teremos:

ϵ 2 = ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 120 ° cos ⁡ 2 θ - s e n   120 °   s e n   2 θ + γ x y 2 cos ⁡ 120 ° sen ⁡ 2 θ + s e n   120 °   c o s   2 θ

ϵ 2 = ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ - 3 2   s e n   2 θ + γ x y 2 - 1 2 sen ⁡ 2 θ + 3 2   c o s   2 θ

Essa será nossa segunda equação, vamos guardar ela também.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão para a deformação na direção 3, que está a uma rotação de θ + 120 ° da referência, então teremos:

ϵ 3 = ϵ x + ϵ y 2 + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ + 24 0 ° + γ x y 2 s e n   2 θ + 24 0 °

Agora, vamos substituir a expressão para a deformação média e abrir as somas de arco, então teremos:

ϵ 3 = ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 24 0 ° cos ⁡ 2 θ - s e n   24 0 °   s e n   2 θ + γ x y 2 cos ⁡ 24 0 ° sen ⁡ 2 θ + s e n   24 0 °   c o s   2 θ

ϵ 3 = ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ + 3 2   s e n   2 θ + γ x y 2 - 1 2 sen ⁡ 2 θ - 3 2   c o s   2 θ

Essa é a nossa terceira expressão. Tá legal! Agora vamos começar somando a segunda e terceira expressões, para cancelarmos alguns termos, fazendo isso, teremos:

ϵ 2 + ϵ 3 = ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ - 3 2   s e n   2 θ + γ x y 2 - 1 2 sen ⁡ 2 θ + 3 2   c o s   2 θ + ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ + 3 2   s e n   2 θ + γ x y 2 - 1 2 sen ⁡ 2 θ - 3 2   c o s   2 θ

ϵ 2 + ϵ 3 = 2 ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 - cos ⁡ 2 θ + γ x y 2 - sen ⁡ 2 θ

ϵ 2 + ϵ 3 = 2 ϵ m e d - ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ - γ x y 2 s e n   2 θ

Agora vamos somar a parcela referente a ϵ 1 , chegando em:

ϵ 1 + ϵ 2 + ϵ 3 = ϵ m e d + ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ + γ x y 2 s e n   2 θ + 2 ϵ m e d - ϵ x - ϵ y 2 cos ⁡ 2 θ - γ x y 2 s e n   2 θ

Observe que os termos com cos ⁡ 2 θ e s e n   2 θ possuem sinais opostos, então a equação acima se reduz a:

ϵ 1 + ϵ 2 + ϵ 3 = 3 ϵ m e d

Que é exatamente a equação dada no enunciado! Shoow, conseguimos mais um!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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