Enunciado

Desenvolva a expressão para a frequência natural f n do sistema composto de dois cilindros circulares homogêneos, cada um de massa M, e o elemento de ligação AB de massa m. Assuma pequenas oscilações.

Passo 1

Bom pessoal, vamos primeiro discutir quais as componentes de energia atuam neste sistema.

Podemos observar que a barra AB não gira, apenas translada. Já as rodas transladam e giram. Então, a energia cinética do sistema pode ser escrita da forma:

T = 2 1 2 I O θ 2 ˙ + 1 2 M v O 2 + 1 2 m v 2  

O momento de inércia de uma roda é calculado da forma I = 1 2 M r 2 .

Já a velocidade do centro das rodas O pode ser calculada a partir do centro instantâneo, que é o ponto de contato com o solo. Temos então:

v O = r θ ˙

Agora vamos para a velocidade da barra AB. Bom, a velocidade da barra é a mesma por toda sua extensão, então podemos calcular a velocidade a partir do ponto A. Vejamos:

O módulo da velocidade de A pode ser calculado a partir do centro instantâneo como:

v A = θ ˙ r A C

A distância entre A e C pode ser obtida pela lei dos cossenos no triângulo AOC:

r A C 2 = r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ

Como na equação da energia, a velocidade está ao quadrado, vamos escrever logo dessa forma:

v A 2 = v 2 = θ ˙ 2 ( r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ )

Agora, voltamos à equação da energia cinética e substituímos os valores:

T = 2 1 2 I O θ 2 ˙ + 1 2 M v O 2 + 1 2 m v 2

T = 2 1 4 M r 2 θ 2 ˙ + 1 2 M r θ ˙ 2 + 1 2 m θ ˙ 2 ( r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ )

T = 3 2 M r 2 θ 2 ˙ + 1 2 m θ ˙ 2 r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ             ( 1 )

Passo 2

Agora vamos para a parte de energia potencial.

As rodas permanecem com seus centros de massa na mesma altura, portanto não possuem variação na energia potencial gravitacional. Já a barra sobre uma variação de altura. Veja a figura abaixo, que compara quando A está no ponto mais baixo e quando ela anda um ângulo θ :

Lembrando que a barra está na horizontal, e, portanto o centro de massa da barra vai variar uma mesma altura que o ponto A. A energia potencial do sistema pode ser escrita como:

V = m g r O 1 - c o s θ     ( 2 )

Agora, vamos para a equação de energia total. Basta juntar as equações (1) e (2):

E = T + V

E = 3 2 M r 2 θ 2 ˙ + 1 2 m θ ˙ 2 r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ + m g r O 1 - c o s θ

Como o sistema é conservativo, d E d t = 0 (Não esquecer a regra da cadeira):

d E d t = 3 M r 2 θ ˙ θ ¨ +   m θ ˙ θ ¨ r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ + m θ ˙ 3 r r O s e n θ + m g r O θ ˙ s e n θ = 0

3 M r 2 θ ¨ +   m θ ¨ r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ + m θ 2 ˙ r r O s e n θ + m g r O s e n θ = 0

3 M r 2 +   m r 2 + r O 2 - 2 r r O c o s θ   θ ¨ + m r r O s e n θ   θ ˙ 2 + m g r O s e n θ = 0

Agora vamos usar algumas aproximações. Como o ângulo θ é muito pequeno, o termo com maior expoente pode ser desprezado, ou seja, o termo θ ˙ 2 → 0 . Além disso, o seno pode ser aproximado ao próprio ângulo s e n θ = θ , e o c o s θ = 1 .

Arrumando a equação para o termo a segunda ficar com o coeficiente unitário, temos:

  θ ¨ + m g r O 3 M r 2 +   m r 2 + r O 2 - 2 r r O θ = 0

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

ω n = m g r O 3 M r 2 +   m r 2 + r O 2 - 2 r r O

Podemos relacionar a frequência à velocidade angular:

ω n = 2 π f n

Substituindo na equação, temos que:

f n = 1 2 π m g r O 3 M r 2 +   m r - r o 2

Resposta

f n = 1 2 π m g r O 3 M r 2 +   m r - r o 2

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