Enunciado

Quando o deslocamento em um MHS é metade da amplitude x m , que fração da energia total é (a) energia cinética e (b) energia potencial? (c) Para que deslocamento, como fração da amplitude, a energia do sistema é metade energia cinética e metade energia potencial?

Passo 1

Ok, as primeiras letras querem a resposta como uma fração da energia total, então vamos começar lembrando de alguma fórmula pra ela.

E = k x m 2 2

Que pode ser, por exemplo, o momento em que toda a energia está concentrada pra esticar uma mola.

Em qualquer momento a energia potencial do oscilador é:

U = k x 2 2

E a energia cinética é:

K = m v 2 2

Beleza, agora vamos usar isso pra responder as questões.

Passo 2

(a) A questão quer saber a energia quando o deslocamento é metade da amplitude. Já que a única informação é essa, o melhor a fazer é usar a fórmula da energia potencial (que envolve o deslocamento):

Quando o deslocamento é metade da amplitude:

x = x m 2

U = k x 2 2 = k 2 x m 2 2 = 1 8 k x m 2

E qual fração da energia total isso representa?

U E = 1 8 k x m 2 1 2 k x m 2 = 1 4

Ou seja, nesse momento, um quarto da energia é potencial: U = 1 4 E .

Como a energia total é:

E = K + U

E = K + 1 4 E

K = 3 4 E

E a razão entre a energia cinética e a energia total é:

K E = 3 4

E essa é a resposta da letra (a)!

Passo 3

(b) Acabamos respondendo a letra (b) no meio da letra (a). A fração da energia total que é energia potencial naquele momento é:

U E = 1 4

Pronto.

Passo 4

(c) Agora queremos saber em qual deslocamento a energia fica dividida igualmente entre potencial e cinética.

Bom, a gente já viu que é mais fácil calcular as coisas com a energia potencial, já que queremos a resposta em termos da amplitude.

O que a gente quer é o valor de x que satisfaz isso aqui:

U E = 1 2

Entendeu? Porque nesse momento a energia potencial vai ser metade da energia total, e então a energia cinética vai ser exatamente a outra metade.

U E = 1 2 k x 2 1 2 k x m 2 = x 2 x m 2

x 2 x m 2 = 1 2

x 2 = x m 2 2

x = x m 2

Pronto, esse é o deslocamento para o qual a energia está dividida igualmente entre cinética e potencial!

Resposta

(a) 1 / 4  

(b) 3 / 4  

(c) x = x m / 2

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