Enunciado

O deslocamento angular da centrífuga é dado por θ = 4 t + 30 e - 0,03 t - 30   r a d , onde t é expresso em segundos e t = 0 é o instante da partida. Se o ser humano perde a consciência em um nível de aceleração de 10 g , determine o tempo t em que isso ocorreria. Verifique que a aceleração tangencial é desprezível quando a aceleração normal se aproxima de 10 g .

Passo 1

Vamos encontrar expressões para a aceleração tangencial e a centrípeta em coordenadas polares.

Começando pela tangencial. O deslocamento é dado por:

s = r θ

Se derivarmos em relação ao tempo chegamos em:

v = r ˙ θ + r θ ˙

Mas como o raio r é constante, sua derivada temporal r ˙ é nula:

v = r θ ˙

E fazendo a mesma coisa para a próxima derivada chegamos em:

a t = r ˙ θ ˙ + r θ ¨ = r θ ¨

Beleza, e a aceleração centrípeta?

a c = v 2 r = r θ ˙ 2 r = r θ ˙ 2

Ok, já temos as duas expressões.

Passo 2

Agora vamos substituir a função do enunciado nas expressões que nós encontramos:

a c = r θ ˙ 2 = r d d t 4 t + 30 e - 0,03 t - 30 2

a t = r θ ¨ = r d 2 d t 2 4 t + 30 e - 0,03 t - 30

Resolvendo as duas vamos achar o seguinte:

a c = r 4 - 3,6 e - 0,03 t 2

a t = r ( 0,108 e - 0,03 t )

Ótimo, já temos as duas acelerações em função do tempo!

Passo 3

Vamos supor (e depois verificar), que a aceleração tangencial fica desprezível quando a c se aproxima de 10 g , nesse caso, podemos considerar apenas a função a c para descobrir o instante t em que a aceleração atinge esse valor:

a c = r 4 - 3,6 e - 0,03 t 2 = 10 g

E agora substituindo os valores:

10 4 - 3,6 e - 0,03 t 2 = 10 g

4 - 3,6 e - 0,03 t = g

e - 0,03 t = 4 - g 3,6

E tirando o logaritmo natural dos dois lados:

t = - 1 0,03 ln ⁡ 4 - g 3,6

t ≅ 47,4   s

Ok, uma resposta razoável.

Passo 4

Agora vamos verificar que a aceleração tangencial é mesmo desprezível quando t tem esse valor:

a t = r ( 0,108 e - 0,03 t )

É só substituir t = 47,4   s e r = 10   m

a t ≅ 0,260   m / s 2

Considerando que nesse mesmo instante nós vimos que a n = 10 g ≅ 98,1   m / s 2 , está confirmado que a t é realmente desprezível!

a n a t ≅ 377

Resposta

Isso ocorre no instante t ≅ 47,4   s , e a aceleração normal é quase 400 vezes maior que a tangencial nesse instante.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

2/156) O carro A está se deslocando com velocidade constante v sobre a rodovia reta e horizontal . O oficial de polícia no carro estacionado P tenta medir a velocidade v com radar . Se o radar mede a
2/146) A posição radial de umapartícula P de fluido em umadeterminada centrífuda com palhetas radiais é aproximada por r = r 0 cos ⁡ h K t , onde t é tempo e k = θ ' é a velocidade angular constante n
2/167) Um meteoro P é rastreado por um radar observatório sobre a terra em O . Quando o meteoro está diretamente acima ( θ = 90 ° ) , as seguintes observações são registradas : r = 80k m , r ' =- 20 k
2/159) No instante representado na figura , a estação de radar em O mede a taxa de variação do ônibus espacial P como sendo r ' = - 3742 m / s , com O considerado fixo . Sabendo-se que o ônibus espapc
2/153) Na parte inferior de uma acrobacia aérea na qual o avião descreve um círculo em um plano vertical ( r - θ ) a uma altitude de 400 metros , o avião P tem uma velocidade horizontal de 600 k m / h